拉格朗日余项 拉格朗日插值公式怎么理解

很多同学都学过拉格朗日插值公式，小编整理了一些相关的证明知识，大家一起来看看吧。

拉格朗日插值公式简介

拉格朗日插值公式指的是在节点上给出节点基函数，然后做基函数的线性组合，组合系数为节点函数值的一种插值多项式。

线性插值计算方便、应用很广，但由于它是用直线去代替曲线，因而一般要求[x0, x1]比较小，且f（x）在[x0, x1]上变化比较平稳，否则线性插值的误差可能很大。为了克服这一缺点，有时用简单的曲线去近似地代替复杂的曲线，最简单的曲线是二次曲线，用二次曲线去逼近复杂曲线的情形。

拉格朗日插值证明过程

证明:先用归纳法证明存在性，再证明唯一性。

  当n=1n=1时，常函数(0次)P1(x)=y1P1(x)=y1即符合要求。假设当n−1n−1时存在一个次数≤n−2≤n−2的多项式Pn−1Pn−1,使得Pn−1(xi)=yi,i=1,2,...,n−1.Pn−1(xi)=yi,i=1,2,...,n−1.则令Pn(x)=Pn−1(x)+c(x−x1)(x−x2)...(x−xn−1)(x−xn)Pn(x)=Pn−1(x)+c(x−x1)(x−x2)...(x−xn−1)(x−xn)，其中cc为待定系数，利用Pn(xn)=ynPn(xn)=yn即可求出待定系数cc.此时，Pn(xi)=yi,i=1,2,...,n,Pn(xi)=yi,i=1,2,...,n,且Pn(x)Pn(x)的次数≤n−1≤n−1.这样就证明了存在性。

  其次证明唯一性。假设存在两个这样的多项式，设为P(x)P(x)和Q(x)Q(x)，它们次数≤n−1≤n−1且都插值经过nn个点，即P(xi)=Q(xi)=yi,i=1,2,...,n.P(xi)=Q(xi)=yi,i=1,2,...,n.令H(x)=P(x)−Q(x)H(x)=P(x)−Q(x),HH的次数也≤n−1≤n−1，且有nn个不同的根x1,x2,...,xnx1,x2,...,xn.因此，由多项式基本定理可知，H(x)H(x)为0多项式，即恒等于0，故有P(x)=Q(x)P(x)=Q(x).这样就证明了存在性。

插值余项

以上就是一些拉格朗日插值公式的相关信息，希望对大家有所帮助。