清华学神 清华学神奶爸：在我看来，数学是世界上最美的学科

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数学是世界上最美的学科。

没有之一。

数学之美，在于它仅用最少的条件，以严谨的逻辑推导，得到精妙绝伦的结论。

最典型的例子莫过于欧几里得几何体系，仅仅用五条公设，就得到了从勾股定理到梅涅劳斯定理等等无数精彩的平面几何定理。

欧几里得，古希腊数学家，被称为“几何之父”

就好比著名的应县木塔，远看恢弘壮大、近看结构精美、仔细观察还会发现其中的卯榫交错、严丝合缝。

数学这座大厦同样经得起反复欣赏、来回推敲，最后发现实在是美不胜收。

应县木塔

但是我也非常清楚，有太多的学生乃至成年人，将数学看作洪水猛兽，闻之色变。有很多人对我说：

“你学得好，当然觉得有趣；我怎么学都学不好，肯定觉得数学可怕啊。”

我认为恰恰相反，只有发现数学之美、数学之趣的人，才能把数学学好。

但是怎么才能发现数学之美呢？

数学启蒙老师

很重要

启蒙老师，就是最早系统化地给孩子讲授数学的人。以前通常是由小学老师担当，但是随着对教育的重视，现在扮演这个角色的通常是家长或者早教机构。启蒙老师用怎样的方式为孩子开启数学世界的大门，显得尤为重要。

例如，在介绍数字的时候，有的人会把1、2、3……8、9、10作为前面十个数，让孩子用点数的方式练习，反复数到滚瓜烂熟，但是却只字不提为什么“9”后面的“10”变成了两个数字；然后将11、12……20这些数增加进去，用同样的方法让孩子练习，自豪地宣传孩子的数学能力“从10以内进步到20以内”，却忽略了所有自然数其实是用一套编码规律编成的。

更有甚者，将计算等同于数学，认为会加减乘除就是数学学得好，送孩子去一些“计算训练机构”学习快速计算的技巧。要知道这些速算往往是抛去了运算中的代数含义，而改用机械化的方式去处理运算。这样培养出来的孩子，数感会落后一大截，而计算上的领先却偏偏掩盖了这个缺点。

除了代数以外，几何方面也存在这样的问题。有的人满足于让孩子辨认不同的图形，只要分得清正方形和三角形，圆形和椭圆形，就当是学到知识。但是圆形和椭圆形，它们之间有什么关联呢？两个三角形可以拼成长方形、平行四边形、大三角形，分别又有什么条件，该怎么拼？这些在基础知识中延伸出去的思考，却是帮助孩子们在未来的数学学习中突飞猛进的关键。

上面所说的这些错误的数学启蒙方式，有这样的共同点：

将数学当作一门记忆的学问、一门经验的学科

因为把知识点生硬地切割成碎片，而忽略知识点之间的衍生、推导、深化等关系，更没有用到观察、假设、归纳、演绎等科学的思考方式，使得学生的数学大厦建筑在一片沙滩之上，自然会在中学的数学课上表现出听不懂、做不出、跟不上等种种问题。

例如，在一元二次函数这个章节里，函数的参数a、b、c分别对函数起到什么作用？这个知识点，本来可以通过代数和几何的结合来理解，进而将对称轴、极值等公式也一并推演出来。但是习惯了“记忆式学习”数学的学生，不仅要靠背诵课本的结论来解题，面对“绕一下”的难题更是束手无策。

我教过不少的学生，深刻地体会到数学基础不牢固对于后续学习的致命影响；而这里说的基础，绝不是指加减乘除的运算速度，也不是指将长方形的周长面积公式背得滚瓜烂熟。

这是需要从小培养的

数学化的思维方式

所以，我从女儿2岁起，就开始为她挑选数学启蒙绘本。今时今日的数学绘本品类已经非常丰富，远超于我小时候那个年代。这说明有很多有水平、有能力的人，投身于儿童数学教育之中去，是一件让人欣喜的事。但是品种虽然繁多，质量却依然参差不齐。

例如有的绘本，仅仅是通过动物之口，将小学课本的内容照本宣科讲一遍，就成了启蒙读物；有的虽然用了生动的童话故事来表达，却缺乏对知识的思考和联络。

在买了好多套数学绘本之后，我终于找到了一套在内容编排、知识点切入、思维引导方面都能够满足我期待的书——《汉声数学图画书》。

《汉声数学图画书》

《汉声数学》原是由一支美国一流的数学家、科普作家队伍在上世纪六十年代写成的数学系列绘本。欧美数学专业人士给它注入的数学基因，让它在众多的同类书籍中鹤立鸡群。

1989年，台湾汉声出版社取得这套书的版权，从此这套书就以《汉声数学》这个名字享誉中国亲子领域。除了精心翻译以外，汉声还做了大量的本土化改动，例如将本来使用的钱币替换成本地货币，将用英文字母等作为例子的内容替换成汉字等。

同时，汉声还编撰了一本非常详细的《妈妈手册》，用于帮助家长更好地使用这套书。这本手册再一次突显出这套书的特别之处：它绝不像一般绘本一样，读完其中文字就够了；如何能够理解数学家们编写时的思维，让孩子跟随大师的思路信步游历数学世界，是需要花一点功夫的。

《汉声数学图画书·妈妈手册》封面

私以为，《汉声数学》这套书，有以下几大特色：

一

重视概念，并强调概念的来源

概念是数学之本，没有清晰准确的概念，学习数学只能是镜花水月。但是很多数学绘本的作者，可能是担心低龄幼儿的接受能力有限，介绍概念时往往犹抱琵琶半遮面。《汉声数学》则不然，它不仅把每一册中的重点概念讲得非常清晰，而且将概念背后产生的逻辑娓娓道来。

就拿第一册——认识数字来说，另外一套经典绘本着重介绍1-9这些阿拉伯数字是指代多少东西、数字之间的顺序。虽说知识点是传达到位了，但是读者却知其然不知其所以然。《汉声数学》的《数是怎么来的？》通篇在讲这样的一个道理：先有数数的需求，后有数字的使用；世界上有各种的方式给下面这个数量命名，但代表的是同一个数量，它都比另一个代表“6”的数多1，比代表“8”的数少1。

《汉声数学图画书·数是怎么来的？》封面

图片选自《汉声数学图画书·数是怎么来的？》

这样去讲解数字这个概念，乍一看好像舍近求远，仔细揣摩才能感受到其中的奥秘之处：

一方面可以带着孩子感受数学之中的创造之美，而不是简单被动地接受数字有关的这一点点知识；二来从更高的角度为孩子打下根基，就好比油画大师教徒，从思想和意境出发，而不是从色彩线条入手；第三可以引导孩子自行思考，例如一个最简单却常考倒家长的问题——“为什么1+1=2”，就可以有自己的答案了。

又例如，《长短、高矮和宽窄》这一册，讲的是长度测量的概念。但是全书前三分之二的篇幅，都没有出现任何一个长度单位：厘米、米、英寸、码，一个都没有。它从长度测量在生活中的实际需求讲起，传达这样的概念：长度测量本质上就是用一致的标准去衡量不同长短的东西。这个标准可以是你的一指长，可以是一只鞋长，可以是国王的手掌长。最后话锋一转：但是上面这些方式都不够方便，所以我们有了公制测量系统。给我女儿读本书的时候，她刚刚4岁。她听完后，让我躺在床上不动，拿来一个枕头，一段接一段地量起来，然后告诉我：你身高3个枕头。听完这句话，我知道她已经理解这本书了，这就是《汉声数学》的奇妙之处。

《汉声数学图画书·长短、高矮和宽窄》封面

图片选自《汉声数学图画书·长短、高矮和宽窄》

二

多角度、多层次理解概念

研究数学，是一个从特殊到一般的归纳与提炼过程。如果仅仅是学习一大堆的数学知识点，就好比一直用放大镜去看《蒙娜丽莎》，只会觉得累，难以看出美，想法也难以升华。《汉声数学》正是用大师的眼光来审视这些初级数学概念，才能帮助孩子跳出原来思维的桎梏。

例如在《奇数和偶数》一书里，开篇不像其他书那样告知孩子“1、3、5、7……是奇数，0、2、4、6……是偶数”，而是花了很长篇幅介绍分类——人可以分成两类，动物可以分成两类，那数字如果要分成两类，该怎么分呢？通过观察，发现如果抓一把筷子，要刚好分完给大家，数量是2、4、6等等；另外一些数，包括1、3、5等等，就没法分成整对的数。由此，我们把数字分成了“能不能刚好变成整对的”两类，分别起名为“奇数”和“偶数”。

《汉声数学图画书·奇数和偶数》封面

图片选自《汉声数学图画书·奇数和偶数》

看，这就是《汉声数学》视角的独特之处。奇偶之分，可以认为是将整数分成2类的其中一种方式。那还有没有其他分成2类的方式呢？有没有分成3类的方式呢？很多数学的新思想正是用这种延展的思考方式发现的。

又例如在《多多少少，谈测量》里，开篇提出的问题是：怎么测量你有多喜欢吃某种点心呢？可以做一个表，找十种食物，排好次序。以后再来一样新的食物，就可以用来做测量，例如：今天吃的巧克力，我有5级喜欢，就是和酸奶差不多。同样，如果要测量一杯水的冷热，我们也需要一个测量工具和一些标准，那就是温度计。温度计和“点心测量表”的区别在哪里呢？在不同地方，不同时间，两次的冷热程度一样，温度计测出来的温度应该就一样。但是好吃程度可不一定，不同人测的结果不一样，同一个人心情不同可能也不一样。

《汉声数学图画书·多多少少，谈测量》封面

图片选自《汉声数学图画书·多多少少，谈测量》

所以，虽然“测量”这个概念很广，但是被测量的东西分成两种——像心情、感受等等是不可定量的，长度、重量、温度是可定量的。

这个结论似乎太显然，除了《汉声数学》以外，还没有谁在数学启蒙时如此去强调。但是不要小看了它：温度的可定量性由热力学第零定律确定下来；爱因斯坦的相对论甚至还推翻了常规意义下的长度、质量的可定量性呢。如何从多角度去看待一个简单概念，如何从看似显然的地方提炼出思想，需要漫长的培养过程。

三

与实际联系紧密，大量动手操作内容

数学是一门抽象的学科，但是数学学习的过程却离不开具象物体的辅助。这种具象与抽象的联系能力，是数学学习过程中一道极高的门槛。

例如，在解代数应用题时，能不能用线段图表达出来；解几何题时，能不能想象出其中的图形旋转、翻转后成了什么样子。缺乏这些能力的孩子，数学成绩很难提高。

《汉声数学》里动手操作的内容非常非常多。

例如在《重量与平衡》里，详细介绍了天平的制作方式，然后就可以自己用天平进行各种测量，理解重量、密度的概念；《奇妙的三角形》里，借助纸笔尺子剪刀等基本工具，一下子将角平分线、垂直平分线、中线、内心、外心等概念，不露声色地让孩子自己折、画出来，可以感受到数学的奇妙之处；还有像《直线、平行线、垂线》里用国际象棋棋盘、《椭圆》里用玻璃杯等生活用品来辅助理解概念；更不用说《折纸的几何》《猜一猜，算一算》基本就是一本实验书。

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图片选自《汉声数学图画书·奇妙的三角形》

操作性的内容有三个好处：

一是提高阅读的趣味性；二是在操作中感受领悟数学概念；三就是提高抽象和具象的联系能力。

四

对话式、提问式设计，强调自主思考

《汉声数学》系列自成一派的风格尤其强烈，使得它即使翻开节选任意一页，也很容易在一众同类书籍中被辨认出来。这种特色一方面来源于特别的画风，另一方面来源于平实的对话式语言。

几乎所有的儿童绘本都用故事的形式来呈现，但《汉声数学》系列却一个故事都没用，而是用第二人称的对话形式来呈现。这样的呈现方式，可以规避单线进行的故事对概念阐述的制约，才可以像前面所说，多层次、多维度铺展开来。

而在对话之中，包含了非常多具有启发性的设问。这些问题里，一部分是有唯一确定答案的，属于“练习型问题”；也有一部分没有确定答案，属于“思考型问题”。

例如在《三维求体积，二维算面积，一维量长度》中，就提了一个问题：“找两个空的纸箱，你知道哪一个比较大吗？”《分数是分出来的》里面，对6个小朋友分成两半的方法，已经提出了2种分法，最后再留下开放性的问题：“能不能再用别的方法呢？”这种提问式的学习方法，对于数学这门理解型的学科非常重要。

《汉声数学图画书·三维求体积，二维算面积，一维量长度》封面

图片选自《汉声数学图画书·三维求体积，二维算面积，一维量长度》

五

选题丰富，深入浅出，广泛涉及现代数学新领域

在一套面向低龄儿童的数学绘本里，出现了概率、函数、二进制之类的概念和内容，一定有人疑惑不解；如果连一些相当细分的领域，例如拓扑、图论、博弈论，都放了进去，肯定让大部分人认为匪夷所思。

但是《汉声数学》就是这么做的。大部分其他数学启蒙书系不涉及这些内容，原因是显而易见的：

一来考纲没有，二来这些知识点游离在既有的知识体系之外，显得可有可无。

但是把它们纳入进来的意义也是显而易见的：好比让小学生阅读世界名著，并不是指望他们能够马上理解、模仿甚至运用；而是陶冶情操，埋下种子，期待某一天可以发芽开花。

这些选题绝不是哗众取宠：当下最需要数学支撑的几个领域，例如人工智能和量化金融，正是高度依赖于拓扑和概率论。这不得不让人赞叹，这套五十年前选编的经典，其选题竟然丝毫没有褪色。

这些内容也绝不是生搬硬套。

例如《一人，两人玩的数学游戏》里，用几个简单的双人游戏，引出博弈思维；《概率知多少》中用的骰子和硬币，对于孩子来说也不难理解；作为拓扑学入门的《橡皮筋、棒球、甜甜圈——拓扑》，也做到了循循善诱。

正是因为有《汉声数学》的作者——一群数学功底深厚的数学家和教育家们——作为引路人，小读者们能够早早地了解到数学世界之大、之奇、之美，说不定能因此也成为一名数学家呢。

总结

《汉声数学图画书》作为一套启蒙级别的数学绘本，实在是特立独行，特点鲜明。

对于很多家长来说，如果用以前习惯的方式，翻开就给孩子逐字逐句地阅读，可能会被里面天马行空的内容所劝退；即使硬着头皮读完，大部分孩子可能因为无法吸收而失去兴趣。因此，对于这套书，建议家长们不要作为第一套、甚至唯一一套给孩子的启蒙读物。

孩子对数学有了初步概念以后，家长在做好备课工作，吃透了每一册的编写思路的前提下，逐步与孩子一起阅读，慢慢琢磨，一定能获益匪浅。

相信在大陆引入这套书后，小读者群体中一定会涌现出一批热爱数学、擅长数学的优秀人才。

笔者毕业于清华大学物理系，曾获得全国高中数学联赛一等奖、全国高中物理竞赛一等奖、华罗庚杯一等奖、希望杯金牌、泛珠三角联合物理竞赛一等奖、广州市高中力学竞赛一等奖、广州市初中化学竞赛一等奖等奖项