阿列夫 自然数,整数,有理数为什么两两之间能构成双射?

题目：

自然数,整数,有理数为什么两两之间能构成双射?如题,不是有理数包含整数包含自然数么?另,为什么无理数又不能和他们构成双射?（这是听一个数学老师说的）

解答：

不知道你现在上大学还是中学.自然数集、整数集和有理数集的势（如果没听说过可以理解为元素的个数）都是阿列夫0,是势最小的无穷集（可数集）.无理数集和实数集等势,都是不可数集,势为阿列夫1,按照连续统假设应该是第二小的无穷集,满足关系：阿列夫1＝2^(阿列夫0).不知道这样解释您是否满意,因为不知道你现在的学历.如果还想知道更深入点可以追问～ 再问： 我是中学生 这个懂得很朦胧 就算他们元素个数相等，怎么建立双射呢？ 另，您说的东西在哪个阶段可以学到？ 再答： 并不是元素个数相等才构成双射，而是能够构成双射才元素个数相等。您是中学生的话，为了理解起来容易，我就举一个最简单的栗子吧～比如说正整数集(用Z+表示)元素的个数和正偶数集(用E+表示)元素的个数哪个多呢？一般初学者都会认为|Z+|>|E+|，“｜｜”表示元素的个数，因为直觉告诉我们正偶数和正奇数一样多，而他们的总个数才是正整数的个数。真子集元素个数小于母集元素个数事实上只是对于有限集才是成立的。而对于无限集，我们就要用11映射的方法来比较哪个无限集的元素多，当然能够双射的两个集合元素个数就一样多。由于对任意元素n属于Z+，我们都可以在E+里找到这样一个元素m＝2n与之对应；反过来同样的，对任意元素m属于E+，我们都可以在Z+里找到这样一个元素n＝m／2与之对应。所以Z+与E+建立了11映射，也就是说|Z+|＝|E+|。写的直观点就是(1~2), (2~4), 。。。, (n~2n), 。。。同理，正奇数集O+也可以与Z+建立11映射，只须满足关系(n~2n-1)就行了。所以|Z+|＝|E+|＝|O+|，然而E+和O+都是Z+的真子集，用普通的自然数（1个、2个等等）是不可能表示他们的个数的，所以我们定义了一个新的符号来表示它们的元素个数，那就是“阿列夫0”，符号不好打，我们就用X0来表示吧。那么自然数集N的个数是多少呢？直观上看N比Z+多了一个元素0，我们只需要把构建这样一个映射(n~n+1)就行了，其中n是N的任意元素（0、1、2。。。）。其实我上面给你举的栗子是为了直观一点，事实上可数的无限集都是等势的，建立11映射只需要一个一个对应的排出来就行了。所以呢，用这种方法可以证明自然数集N、整数集Z、有理数集Q都是等势的，它们的势都是X0。超字数了。。剩下的在附件里～