八年级上册数学知识点典型例题

一、阅读教材P52内容，完成下列各题：1、明确分式定义： 分式有意义的条件： 分式无意义的条件： 分式值为零的条件： 2、完成课本P53 1、2题3、在代数式－3x， ， ， ， ， 中是整式的有_________________ ．是分式的有___ ______________ ．4、 不是分式．（ ）归纳：判断的标准是代数式中的分母有无字母。二、自学课本P53例1、例2内容，完成下列练习题1.课本P53 3、4题归纳：在解决此类问题时，可先求出使分母等于零的字母的值，要使分式有意义，则未知数应不等于这些值。遇到稍复杂的题目时，应能综合应用已学过的绝对值、因式分解等知识，灵活处理。2.当x___________时，分式 有意义．3.当x为任意实数时,下列分式中,一定有意义的一个是[ ]A． B． C． D． 3.使分式 有意义的条件是 [ ]A．x≠2 B．x≠－2 C．x≠2且x≠－2 D．x≠04.不论x取何值时，下列分式总有意义的是 [ ]A． B． C． D． 5.已知分式 ，要使分式的值等于零，则x等于 [ ]A． B．- C． D．- 6. 如果分式 的值为0，那么x的值应是 [ ]A．x=±1 B．x=-2 C．x=3或x=-3 D．x=07.使分式 的值为正的条件是 [ ]A．x＜ B．x＞ C．x＜0 D．x＞0三、课堂小结：四、当堂检测：1． 一般地，用A，B表示两个整式，A÷B就可以表示成＿＿的形式。如果＿＿中含有字母的式子＿＿就叫做分式。其中，A叫做＿＿＿＿＿＿＿＿，B叫做＿＿＿＿＿＿＿＿.2． ＿＿＿和＿＿＿统称为有理式.3． 下列有理式：－ ， ， ， ， ， ，中，整式是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿，分式是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。4.下列式子：3÷b= ，2x÷（a－b）= ， =m－n÷m，xy－5÷x= .其中正确的有（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个5.当x=－1时，下列分式中有意义的是（ ）A． B． C． D． 6.下列分式中，当x=－3时没有意义的是（ ）A． B． C． D． 7.①分母中的字母等于零时，分式没有意义。②分式中的分母等于零时，分式没有意义。③分式中的分子等于零时，分式的值为零。④分式中的分子等于零且分母不等于零时，分式的值为零。其中正确的是（ ）A．①② B．③④ C．①③ D．②④8.x取什么值时，分式 ①没有意义？②有意义？③值为零？ 9.当x=3时，分式 没有意义，求3.1分式的基本性质 能说出分式的基本性质，并能灵活运用将分式变形.学习重难点：分式的基本性质的理解与运用.情境创设：请同学们想一想，我们以前所学的分数的基本性质是什么呢？探索活动分式有类似的性质，就是：分式的分子与分母都乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变，这个性质叫做分式的基本性质，用式子表示是： 一、自学课本P5例3、例4，尝试完成以下题目：1.在下面的括号内填上适当的整式，使等式成立：（1） （2） （3） （4） （5） 2.课本P56 习题3.1 A组 第4题。二、总结分式符号法则：

三、拓展延伸：不改变分式的值，使下列分式的分子与分母的次项的系数是正数.（1） （2） 归纳：四、课内练习课本P38 练习1，2五、课堂小结：

达标测试：1.在括号内填上适当的整式.（1） （2） （3） （4） 2.在括号内注明下列各式成立时，x的取值应满足的条件.（1） （ ） （2） （ ） （3） （ ） 3.下列各式从左边到右边的变形是否正确？正确的，请写出变形过程；不正确的，请改正.（1） （2） 4.把分式 中的字母x、y的值都扩大10倍，则分式的值（ ）A．扩大10倍 B．扩大20倍 C．不变 D．是原来的 5.把分式 中的字母x的值扩大2倍 ，而y缩小到原来的一半，则分式的值（ ）A．不变 B．扩大2倍 C．扩大4倍 D．是原来的一半学后记：3.2分式的约分学习目标： 1、理解并掌握分式的基本性质；2、能运用分式基本性质进行分式的约分.学 习重点： 找到分子分母中的公因式，并利用分式的基本性质约分.学习难点： 分子、分母是多项式的分式的约分攻克方法：____________________________________________________________一、学习过程：1.回顾练习:分式的基本性质为：__________________________________________________． 用字母表示为：______________________．2.下列说法中，错误是的 （ ）A． 通分后为 B． 通分后为 C． 的最简公分母为 D． 的最简公分母为 二、预习看书56—57页，并做好思考、观察：1．把下列分数化为最简分数： =__ ___； =______； =______．2.根据分数的约分，把下列分式化为最简分式： =_____; =_______ =__________ =________3.类比分数的约分，我们利用分式的基本性质，约去 的分子分母中的公因式a，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的_____。其中约去的a叫做________。同理分式 中的公因式是__________，因此约分的步骤为：________________.4.什么叫公因式，若分子分母都是单项式时，如何找公因式？当分子分母都是多项式时，又如何找公因式？5.分数和分式在约分 和通分的做法上有什么共同点？这些做法的依据是什么？ 6.找出下列分式中分子分母的公因式 ⑴ ⑵ ⑶ ⑷ ⑸

归纳：约分关键找出公因式，约分的结果是最简分式，约分各种运算的结果也一定要化为最简分式或整式。三、基础训练：先独立思考，再合作讨论1、分式 ， ， ， 中是最简分式的有（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2、 ， 则？处应填上_________，其中条件是__________．3、下列约分正确的是（ ）A B C D 4、约分⑴、 ⑵、 ⑶、 ⑷、 四、合作探究，解决问题：1、小组讨论：下列分式哪些是可以约分的？对可以约分的分式尝试写出约分的结果。A、 B、 C、 D、 E 、 F、 2、约分：（1） ； （2） 3、化简求值：若a= ，求 的值 五、达标检测：1、化简分式 的结果是： （ ）A、 B、 C、 D、 2、下列分式中是最简分式是（ ）A 。 B 。 C 。 D 。 3、当x=________时， 的值为0.4、约分：（1） ； （2） ； （3） 5、化简求值：（1） 其中 。 （2） 其中 学后记：

3.3 分式的乘法与除法学习目标：1、经历探索分式的乘除法法则的过程，并结合具体情境说明其合理性.2、会进行简单分式的乘除法计算，具有一定的化归能力.3、在学知识的同时学到类比转化的思想方法，能解决与分式有关的简单实际问题.学习重点：探索分式的乘除法的法则.学习难点：分子或分母为多项式的分式的乘除法及应用题.学习过程：一、情境导入1、什么叫做分式的约分？约分的根据是什么？怎样约分？约到何时为止？2、观察下列运算思考： 两个分式相乘或相除怎样运算呢？请运用“数式相通”的类比思想，归纳分式乘除法法则.（1）两个分式相乘，把分子相乘的 作为积的分子，把分母相乘的 作为积的分母 .（2）两个分式相除，把除式的 和 颠倒位置后再与被除式相乘.二、合作探究阅读课本P59页例1、例2，回答问题后，进行尝试应用。（1）、分子和分母都是多项式的分式乘除法的解题步骤是： （2）、完成课后练习P60 第1题、第2题、第3题。归纳：（1）根据乘法法则应先把分子、分母分别相乘化成一个分式后再约分，但在实际运算时，可根据情况先约分，在相乘，这样做既简单易行，又不易出错。（2）注意结果一定要化为最简分式。（3）、巩固练习：①、 ②、 ③、

三、拓展延伸：计算：（1）、 ﹒ ÷

四、当堂小结：五、当堂检测：课本P60页， 习题3.3 A组 1、2、3题

3.4 分式的通分学习目标：1、经历用类比、观察、联想的方法探索分式通分的方法的过程，理解通分与最简公分母的意义.　　　 2、能正确熟练地运 用分式的基本性质将分式通分.学习重点：确定最简公分母.学习难点：分母是多项式的分式的通分.学习过程：一、进入情景1、把下列分式约分成最简分式：（1） ；（2） ；（3） 。2、观察：（1）上面三个分式约分前有什么共同点？ （2）约分后所得分式还是同分母分式吗？3、你能把这些异分母分式化成同分母分式吗？二、合作探究：1、学生回顾：异分母分数 是如何化成同分母分数的？ 2、什么是分数的通分？其根据和关键是什么？3、启发：分式的通分与分数的通分类似，那么什么是分式的通分呢？其根据又是什么？4、尝试概括：你能通过类比分数的通分归纳分式通分的定义吗？5、（1） 的公分母是如何确定的？（2）你能确定分数 的公分母吗？（3）若把上面分数中的3，5用 来代替，即分式 又如何确定公分母呢？6、思考：（1）上面三个分式的公分母能否是： 或 或 或……（2）你为什么确定其公分母是 ？7、请概括最简公分母的定义：三、尝试练习：1、指出下列各组分式的最简公分母.（1） ； （2） ； （3） 。 四、例题讲解：例1、通分 . 巩固练习：通分1、（1） ；（2） ；（3） 。 2指出下列分式的最简公分母？并尝试将它们通分.（1） ；（2） ；（3） 。 例2、通分： 。巩固练习：通分（1） ；（2） ；（3） 。

五、课堂小结：

六、达标测试： 1、判断下列通分是否正确：通分： 。解：∵最简公分母是 ， ∴ ； 。2、填空：（1）将 通分后的结果是__________；（2）分式 与 的最简公分母是__________。3、通分：

3.5分式的加法与减法（第一课时）学习目标：1、 经历探索分式加减运算法则的过程，理解其算理.2、 会进行简单分式的加减运算，具有一定的代数化归能力.3 、不断与分数类比以加深对新知识的理解4、 逐步进行数学的演绎推理，提高数学的理性能力。进一步体会分式的模型思想学习重点： 同分母分数的加减法的法则。学习难点： 通分后对分式的化简，分母是x—y与y—x.的通分学习过程：一、预习导学（1）、阅读课本P64页并回答书上问题。（2）、想一想 二、合作探究：1、同分母分数如何加减？ 2、猜一猜，同分母的分式应该如何加减？(与分数进行类比) （1） + （2） － 4、思考：（1）、异分母的分式如何加减？比如 + =？（2）、阅读课本P65页，例2以上部分，与同伴交流你的想法。。三、训练巩固1、 计算：（1） + （2） ＋

（3） + － （4） － －

四、课堂小结：归纳：分子相加减是把各个分子的“分子整体”相加减，各分子都应加括号，尤其是相减时，要注意避免产生符号错误。

五、达标测试1、在下面的计算中，正确的是（ ）A + = B ＋ = C － = D ＋ =0[来源:学。科。网]2、下面运算中，正确的是（ ）A － ＋ =－ B － ＋ = C － =0 D + = 3、计算： + ，结果为（ ）A.1 B.－1 C.2x+y D.x+y4、计算（1） ＋ － （2） ＋ － （3） - － 六、作业： 配套练习册 P3.5 第一课时学后记：3、5分式的加法与减法（第二课时）学习目标：1、会把异分母的分式化成同分母的分式，通过化异分母分式为同分母分式，渗透“转化”的数学思想。2 、进一步掌握异分母分式加、减法.学习重点： 进行异分母分式的加减运算学习难点： 化异分母分式为同分母分式.教学过程一、合作交流，探究新知1 、通过具体问题，探究异分母分式的加减方法.计算：

类比上面的分数加法运算，做一做：（1）计算： （2）计算： 总结法则：异分母分式相加减，先把它们 ，然后再 .二、应用迁移，巩固提高自学课本P65——66 例2、例3尝试完成下列题目：计算： (1)

（2） （3） 三、 课堂练习，巩固提高： 完成课本P67面练习1、2、3题。四、拓展延伸：. 五、当堂小结：六、当堂测试1、计算：（1） （2） 2.化简求值： ，其中x= —2 3.6比和比例（第一课时）学习目标：1．理解比的意义，掌握比的读法和写法，认识比的各部分名称．2．掌握化简比的方法，并能正确进行比的化简.3．培养学生抽象、概括能力．学习重点： 理解比的意义，掌握化 简比的方法．学习难点：理解比的意义，建立比的概念．学习过程：一、自主探究：阅读课本第68、69页，明确比的意义： ，叫做a与b的比，记作 或 .其中，a叫做 ，b叫做 .二、合作交流： 你能举出生活中常见的比的例子吗？与同学交流.在下面写出两个.

三、主体拓通：你能化简下面的比吗？试试看，相信你是最棒的！（1）18a:16b （2）50x:15 （3） : 你是怎样做的？与同学交流.四、拓展延伸：1）：八年级一班有学生42名，如果男女生人数的比是4:3，那么该班女生有多少名？ 2）、如图，时代中学的校园中有两块草坪。草坪中甲是正方形，中间有一个正方形的喷水池，草坪乙是长方形。求甲、乙两块草坪的面积的比. c a a-b 　 （乙） (甲)五、对应 训练，巩固提高： 1）、化简：（1）35a: (2)4x ：6 （3）（x+y）：（ ） (4)a：（ ）2）、小亮家每月的水入为2800元，如果日常生活开支的款项与储蓄款项的比试3:2，那么小亮家每月储蓄多少元？ 六、当堂小结：

七、达标检测：1、某班男生人数与女生人数的比试3:4，则女生人数与男生人数的比是 ，男生人数与全班人数的比是 .2、一种盐水是由盐和水按1:30的重量配制而成的.其中盐的重量占盐水的 ，620克这样的盐水中含盐 克。3、把下面的比写成分数的形式，并化简：(1)8ab:6a (2)(x-y):(ax-ay)

(3)（ ）：（ ） (4)(x+1):（ ）　 4、某学校的操场是一个长方形，长120米，宽75 米，用1:3000的比例尺画成平面图，长和宽各是多少厘米？　　

学习目标 ：1、理解比例的意义，认识比例各部分名称，初步了解比和比例的区别；理解比例的基本性质. 2、理解连比的意义，并会进行连比的有关计算. 3、在自主探究、观察比较中，培养学生分析、概括能力和勇于探索的精神. 学习重、难点： 重点：比例的意义和基本性质的应用，连比的计算. 难点：比例的基本性质和连比的性质的区别.学习过程 ： 一、拓通准备：已知☉ 的半径 =2,☉ 的半径 =3，回答下列问题：（1）☉ 的周长 = ,☉ 的周长 = .(2) = = 你发现了什么？与同学交流.二、自主探究：（阅读课本70页，完成下列填空：） 1、表示 式子叫做比例式，简称 。 明确：有两个比，且比值相等，就能组成比例；反之，如果是比例，就一定有两个比，且比值相等.2、比例a:b=c:d可以写成 的形式，其中a与d叫做 ，b与c叫做 .3、一般地，如果a:b=c:d，那么 ，（bd≠0）,这个性质叫做比例的基本性质.用语言叙为： .你觉得比和比例一样吗？有什么区别？ 与同学交流.

三、主体拓通：1、根据下列各题的条件，求a:b的值.（1）2a=3b (2)（a—b）:a=1:22、人在月球上和地球上的重力是不同的，二者的比是1:6。如果一名宇航员在地球上的重力为750牛，那么他在月球上的重力是多少？ 3、已知 =2 ,求 的值；四、合作交流：已知 = = ，其中b，d，f均不为0，且b+d+f≠0, 与 相等吗？为什么？ 五、自主探究：阅读课本第72—73页，明确连比的意义：连在一起的三个数的比叫做 ，三个数a，b，c的连比记作 .六、合作交流： （1）如果a:b=4:5，b:c=2:1，求连比a:b:c.

（2）三角形的周长为52厘米，三边长的比是3:4:6，求三边的长.七、当堂小结：

达标检测：1、如果3b—4a=0，且b≠0,那么a:b= .2、已知 ,求 的值。3、已知： = = ，且a+b+c≠0,求 的值. 4、已知x:y=2:3,y:z=4:7,求连比x:y:z

5、今年植树节，七八九年级的同学共植树480棵.已知三个年级植树棵数的比为4:5:7，三个年级各植树多少棵？

学后记：3、7 分式方程（1）一、学习目标 ： 1．经历在实际问题中运用分式方程的过程，了解分式方程的意义，体会分式方程的模型思想.2．会解可化为一元一次方程的分式方程.3．了解分式方程增根产生的原因，会检验分式方程的根.4．通过学习分式方程的解法，理解解分式方程的基本思想是把分式方程转化成整式方程，把未知问题转化成已知问题，体会数学中的转化思想．二、重、难点重点：(1)、可化为一元一次方程的分式方程的解法．(2)、分式方程转化为整式方程的方法及其中的转化思想．难点：增根产生的原因三、学习过程：(一)复习并引入新课1、什么叫方程？什么叫方程的解？2、阅读课 本P76页“交流与发现”，完成课本上的填空。并思考所列方程有怎样的特点？(二)探究新知：1、总结分式方程的定义： 中含有求知数的方程，叫做分式方程. 巩固练习：判断下列方程中，哪些是分式方程．为什么？（1）2x＋x－15 =10 （2）x－ 1x =2 （3） 12x＋1 －3=0 （4） 2x3 ＋ x－12 =02、阅读课本P77—78例1、例2并思考：（1）与解一元一次方程有什么异同点？解分式方程必需要 .

（2）总结解分式方程的步骤：

巩固练习：解下列分式方程：（1） （2）

3、自学课本P78—79页例3、例4，进一步熟练解分式方程的步骤.[来源:Z§xx§k.Com]巩固练习： （1）21－x ＋1= x1＋x （2） 61－x2 = 31－x 四、 当堂小结：本节课你的收获是：

不足有：

五、当堂测试：解下列方程 （1） （2） （3） （4）

3.7分式方程应用一、学习目标： 1、学生能正确分析题目中的等量关系，掌握列分式方程解应用题的方法和步骤，提高学生分析问题和解决问题的能力；2、通过列分式方程解应用题，渗透方程的思想方法。二、教学重、难点重点：1.审明题意，寻找等量关系，将实际问题转化成分式方程的数学模型. 2.根据实际意义检验解的合理性. 难点 ：寻求实际问题中的等量关系，寻求不同的解决问题的方法.三、学习过程：（一）、拓通准备：列一元一次方程解用题的步骤有哪些？1、 2、 3、 4、 5、 （二）、新课讲解题型一：行程问题例5、（1）、认真看课本例题，分析题目中的“分别从甲地去乙地”、“同时到达”、“速度的比是4：3”等关键词的含义，找出题目中的等量关系，尝试列方程解答，并与课本解答对照。（2）、思考：从例5的条件出发，还可以探究哪些未知量？ 巩固练习一：课本p82 练习题第1、2题

题型二：销售问题例6、认真阅读例6，思考并完成p81页的问题（1）----（6），列方程解答。思考：根据例6提供的信息，你能编制出另外一个用分式方程解决的问题吗？与同学交流。

巩固练习二：某市从今年1月1日起调整居民的用水价格，每立方米水费上涨 。小丽家去年12月份的水费是15元，而今年7月份的水费则是30元，已知小丽家今年7月份的用水量比去年12月份的用水量多5 ，求该市今年居民用水的价格

（三）、思考并交流：列分式方程解应用题的步骤是什么？与列一元一次方程解用题的步骤有何区别？ (四）、课堂小结：

（五）、当堂测试1、一队学生去校外参观，他们出发30分钟时，学校要把一个紧急通知传给带队老师，派一名学生骑车从学校出发，按原路追赶队伍.若骑车的速度是队伍进行速度的2倍，这名学生追上队伍时离学校的距离是15千米，问这名学生从学校出发到追上队伍用了多少时间?

2、小明和同学一起去书店买书，他们先用15元买了一种一种科普书，又用15元买了一种文学书。科普书的价格比文学书高出一半，因此他们所买的科普书比所买的文学书少1本。这种科普书和这种文学书的价格各是多少？