一、函数的概念与三要素
1、函数的定义:设A、B是两个非空数集,如果按照某种确定的对应关系$f$,使对于集合 A 中的任意一个数$x$,在集合B中都有唯一确定的数$f(x)$和它对应,那么就称$f:Ato B$为从集合A到集合B的一个函数,计作$y=f(x)(x in A)$,其中,$x$叫做自变量,$x$的取值范围A叫做函数的定义域;与$x$的值相对应的$y$值叫做函数值,函数值的集合${f(x) mid x in A }$叫做函数的值域。显然,${f(x) mid x in A}subseteq B$.
2、函数的三要素:定义域、值域、对应关系
3、函数相等的定义:如果两个函数的定义域相同,并且对应关系完全一致,我们就称这两个函数相等.
4、函数的表示方法
(1)解析法;(2)图象法;(3)列表法。
二、函数的概念相关例题
试判断以下各组函数是否表示同一函数:
(1) $f(x)=sqrt{x^2},g(x)=sqrt[3]{x^3}$;
(2) $f(x)=(sqrt{x})^2,g(x)=sqrt{x^2}$;
(3) $y=x^0与y=1(xnot=0)$;
(4) $y=2x+1,x in Z 与 y=2x-1,x in Z$.
答案:
(1) 不表示同一函数
(2) 不表示同一函数
(3) 表示同一函数
(4) 不表示同一函数
解析:
(1) 由于$f(x)=sqrt{x^2}= leftvert x rightvert,g(x)=sqrt[3]{x^3}=x$,故它们的对应关系不相同,所以它们不表示同一函数.
(2) 由于函数$f(x)=(sqrt{x})^2$的定义域为${x mid x ge 0 }$,而$g(x)=sqrt{x^2}$的定义域为${ x mid x in R }$,它们的定义域不同,所以它们不表示同一函数.
(3) 由于$y=x^0$要求$xnot=0$,且$xnot=0$时,$y=x^0=1$,故$y=x^0$与$y=1(xnot=0)$的定义域和对应关系都相同,所以它们表示同一函数.
(4) $y=2x+1,x in Z与y=2x-1,x in Z$两个函数的定义域相同,但对应关系不相同,故不表示同一函数.
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