分数的再认识 章勤琼：“分数的再认识”要认识什么？

2018年11月14日——17日，在温州大学召开了“第二届两岸“温清”小学数学教学与研究暨中澳比较教育论坛：分数专题”，全国各地有300多位小学数学来温参会，不敢说这是胜利的大会，但一定是团结的大会。

因为所有老师都是冲着一个目的来的，那就是分数到底该怎么教？而大会其实也一直都在讨论这样一个问题，如何基于分数的意义开展教学？基于意义的分数教学，需要从这样两个维度来进行思考，第一，在分数的概念上，从分数的初步认识到分数的再认识，再到分数意义的深刻理解，怎样的学习路径是适合学生的？第二，在分数的计算和应用等内容上，又该以怎样的意义让学生去理解？当然，这一切的前提是，要认识到与整数不同，分数有着丰富得多的不同意义，如部分与整体的关系；商；测量；比；算子等。

如果我们的老师在分数教学时，能既从整体意义的建构上去考虑，又能在具体内容的教学时深刻思考学生是如何理解的，相信学生在分数学习时能更好地对分数进行理解，而不至于茫然地“掉进分数里”。

今天这篇文章想探讨这样一个内容，就是当学生在初步认识分数以后，学习分数的再认识的内容时，该再认识什么？

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教材中的“分数的再认识”

在大陆的教材中，学生最早认识分数时，人教版是在三年级上册，在认识小数之前。北师大版是在三年级下册，是在认识小数之后，如下面两幅图，其中的关键词中除了“平均分”，“其中的一份”或“每人分得”之外，其实还有一个词很重要，就是“它的”，“这个苹果的”，也就是说，如果从意义上来讲，都是部分与整体的关系。这就是孩子在初步认识分数以后，他们脑子里的分数，明白这一点，对于理解孩子的分数学习是重要的。

那么，学生再次认识分数是在什么时候呢？在北师大版教材中，有明确的“分数的再认识”的章节，是在五年级上次“分数的意义”这一内容中，而且有分和，以分数的再认识为例，教材中是这样的。

而在人教版教材中，并没有“分数的再认识”这样的章节，但事实上，在“初步认识”和“简单计算”后面不久，学生就有再次认识分数的机会，只不过用的标题是“分数的应用”。

不难发现，其实在这两个版本教材中“分数的再认识”中，其实强调的还是“平均分成几份，取其中的一份”，以及“苹果总数的”，也就是说仍然还是“部分与整体的关系”。那么，到底要再认识什么呢？

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怎么再认识“平均”

如前文所述，分数有多种不同的意义，而在我们的教材中，学生最初学习分数时，一般以“部分与整体的关系”这样的意义进入。在这个意义上，一般需要特别强调“平均分”这个事情。那么，我们有没有思考过，对于“平均”这个事情，学生是如何理解的。平均一定包含了“一样”的意思，但“一样”在哪里，学生是否真的清楚？

比如像图4中的，将一个正方体“平均”分成4份，这里可以很明显看出，分出来的这4个小正方形形状和大小完全一样，这里的“一样”是直接可以看到的。事实上，学生在分数的初步认识时，就是以这样的“一样”去理解“平均”的，所分得的部分需要在形状和面积上都一样，这才是平均，这样才可以用分数表示。

那么，问题来了，在下面的中，这6个苹果的确分成了3份，但，是不是“平均”分的呢？孩子该如何理解？换言之，在中，明明划分的各个部分的面积不一样，为什么会是“平均”？理解“平均”必须要的“一样”，在哪里？

我们当然知道，当中是将图形的面积作为连续量来分，那么需要形状面积完全一样才是平均分，而在中，我们要考虑的是苹果的数量，只需要抽象出来以后的苹果数量一样，就是平均了，至于画的面积不重要。

这里从到的对于平均的意义的理解，明显是存在一个过渡甚至跨越的，但我们有考虑过孩子是否能过得来吗？

上周我听了两节课，刚好分别是两个版本教材这个内容的课。针对类似这样的图，我问了至少有1/3的学生两个问题，第一个问题是，你这里写了1/3，为什么？学生很快回答，因为平均分成了3份，取了其中的1份。我接着问第2个问题，你刚才说了平均分成3份，这里有平均分吗？学生发现的确不是平均划分区域的。我再问第3个问题，那你觉得这里还能用1/3表示吗？所有孩子的第一反应都是不能。只有极少数孩子感到困惑，进入深度思考。然后有两三个孩子最后跟我说，老师，这里是指对苹果的数量平均分，跟划的区域是没有关系的。

更有意思的是，在一些孩子自己画的问题里，孩子说，老师我画的只是示意图，看起来他们好像不一样，其实是一样的，好多孩子把自己原来画的线擦掉，重新去画，试图让画的每一块区域一样大。

事实上，除了当中所画区域大小外，还有另外一个问题值得思考。听课时我同样问了很多孩子这样一个问题，你自己画的这些苹果都不一样大哎，你现在觉得你选的这2个苹果可以是1/3吗？学生的回答也很有趣，绝大多数孩子感到迟疑，认为不能。有少数学生说，画的是示意图，看起来不一样大，其实是一样大的。这当然是很难得的抽象。但如果你进一步明确告知，苹果就是不一样大的，还可以用分数表示吗？这时他们的回答就明确说不可以。

我这里问的这几个问题绝不是钻牛角尖，更不是故意为难学生。而是，如果要真正理解部分与整体关系意义上的分数，这时绕不开的问题。比如说，我们会说，男同学占全班人数的1/2。请问，这里的1/2是什么意思？分数就一定是要平均分才有，明明每个孩子都不一样，为什么还是会有平均这一说？

从连续的形状面积的一样到离散的抽象出来的数量的一样如何过渡，应该作为学生再次认识“部分与整体关系”意义上的分数的一个重要内容。

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该怎么再认识“1份”

很多老师认为在“分数的再认识”中，“再认识”的重点应该在于从把“1个东西”平均分过渡到把“1个整体”平均分，也就是说单位“1”从1个到多个，这个认识当然是对的。但从另一个角度来看，其实更应该是怎么认识“1份”。

简单讲，学生要学会用不同的眼光来看待“份”。在这个内容的教学中，像上图一样，老师一般都非常强调这里是分成了3份，那么圈出来的部分是2份，所以这里应该是2/3。这样的强调当然是必要的，学生需要能过渡到多个也可以是1份的认识。但如果只是过于强调这个图是分成了3份，恐怕会有另一个问题。比如在这节课上，我问了很多个学生，这里能用6/9表示吗？均回答说不可以，这里明明只分成了3份，哪里来的6/9。

我想，再次认识分数之后，如果只能看到3份里的2份，而看不到9个里的6个了，恐怕也不是我们想要的。那么，应该再认识什么呢？当然，我们这里不是要教等值分数，不是要教2/3=6/9，但学生要能用灵活的眼光看到不同的“部分与整体之间的关系”，却是非常好的一种“再认识”不是吗？

比如，像下面这样的任务就很好。在前面学生重新理解了“平均”以后，给出8只袜子，圈出其中的2只袜子，那么可以用2/8表示，因为这是8只袜子里的2只。接下来如果把每2只袜子叠在一起，同样是圈出来的这2只袜子，也可以用1/4表示，因为这也是4双袜子里的1双。这样的活动当然还可以很多，比如15瓶酸奶里的5颗，是5/15。每5瓶装成1盒以后，就是3盒里的1盒。

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怎么理解分数中“关系”的意义

个人认为，如果是在三年级分数的再认识，在部分与整体的关系这个意义上，让学生再次认识“平均”和“1份”，能够从不同的层面认识到“平均”中的“一样”，能够用灵活的眼光看到不同的“1份”，就已经足够了。这两点应该成为这个内容的大目标，课堂教学可以围绕这两个大目标思考大环节，设计大任务。

而如果是五年级的学习，除了再次认识“平均”和“1份”外，还有一个目标也很重要，因为这是部分与整体的关系的意义，所以由“关系”会带来“相对”的大小。也就是说，这个意义上的分数，不能仅比较分数的绝对数值大小，还要考虑其对应的整体是多少。比如我在东阳听到的这节课中，最后布置了这样一个任务，“淘气吃了1个月饼的1/4，笑笑吃了1个月饼的1/4，他们吃的月饼一样多吗？”。下图是一个学生对这个题的思考，用画图很好地表征了因为整体不同，对应的1/4也会不同的情况。

事实上，后来有学生补充上了第三种情况，1个月饼和1盒月饼一样多的情况。而在对“关系”的理解上，根据对应的分数，整体和部分之间的互推也是一个值得注意的要点。

本文谈的是我们的教材中“分数的再认识”，学生可以再认识什么，可以再认识到什么程度。仍然是在“部分与整体的关系”的意义上来认识分数，事实上，分数的再认识，当然还有很多其它的不同角度来再认识分数。比如，怎么认识分数是一个数？怎么从测量的角度，比如单位分数逐个数出不同的分数，直至数出假分数。

在另一节课上，学生1/4,2/4这样往上数，容易数出5/4乃至更多。但当问及，这里的5/4是什么意思的时候很有意思，第一次学生很自然地说出来，把一个东西平均分成4份，取其中的5份。让她再说一次的时候，说把一个东西平均分成4份，取其中的……，忽然发现，一共才4份，怎么可能取到5份呢？

所以，还是那句话，Teaching for Understanding，这里的理解包括两个方面的意思，首先，老师自己要理解分数的不同意义，其次，老师还要把尽量把自己拉回到学生的位置，就能容易体会，在理解分数这个事情上，也许并不是那么理所当然的，也即，要理解学生的学习与理解。