球的体积和表面积公式写给5年级的学生：球公式是如何推导出来的？

正式介绍

有一天一个朋友在微信群里问:帮忙，儿子问怎么推导出球表面积和体积的公式，怎么用小学五年级能听懂的语言解释？

这真是个好问题。孩子们对知识的渴求不再满足于死记硬背

想知道背后的原因。孩子还小，还处于理解加减的阶段，问不出这么深入的问题。但是，我相信父母，面对渴望的孩子，会无所不知，无话不说。但是，怎么解释清楚呢？本文试图梳理推导过程，看看能否用初等数学来解释，这也是一个挑战。剪短，慢慢听。

矩形、三角形和梯形区域

从矩形区域开始。众所周知，一个矩形的面积是底*高，直观上很好理解:这只是在统计图形中的小方块数。m排小方块堆砌，每排有N个，总数为m * N；每个小方块的面积是1，所以总面积是m * n，整数m，n换成分量数也是一样，只是在小方块里计数。

将两个三角形或两个梯形放在一起，得到一个矩形。三角形的面积是矩形的一半，即(底*高)/2，而梯形的面积是(上底+下底)*高/2。甚至可以说，三角形是梯形面积公式的特例，三角形是上底=0的梯形，矩形是上下底相同的梯形。所以只需要一个梯形公式就够了，总结了三种情况。

照片:两个直角梯形拼接成一个矩形，摄于easycoursesportal.com

大数学家高斯计算1+2+3+的故事恐怕大家都很熟悉...+100=5050他小时候。高斯使用的算术数列求和公式，和=(第一项+最后一项)*项数/2，本质上与梯形面积公式相同:第一项和最后一项分别为上下基，项数高。这个例子说明数学是一个联系广泛的整体。求级数和，求面积和体积，求积分都是一回事，只是符号不同。

斜三角形面积与祖鲁原理

一个好学的孩子可能会马上指出，上述计算三角形和梯形面积的方法只适用于直角三角形和直角梯形。为什么一般的“斜三角形和斜梯形”是真的？

简单解释就是斜三角形，它是等底等高的平行四边形。平行四边形可以切掉斜角填充到另一边(有时可能会做很多次)，变成等底等高的矩形。所以平行四边形的面积也是底*高，上面的三角形和梯形公式依然成立。

图片:平行四边形面积等于矩形面积，取自mathbits.com

不过有更好的解释:对于任意两个高度相同的图形，如果对应高度的平行剖面线长度相同，那么它们的面积也相同。这是一个强大的原理，不限于三角形和梯形。而且在3D 空中也是如此:如果任意两个高度相同的物体具有相同的平行截面积，那么它们的体积是相同的。

图片:根据祖传原理，左右图面积相同，取自mathbits.com

这就是著名的祖传原理，由南北朝数学家祖璇提出。祖璇是中国古代数学的骄傲祖冲之的儿子。在西方数学文献中，这一原理被归功于17世纪的意大利数学家卡瓦列里。

祠堂的原理不难理解:想象每一个高度都被一条很细的长条覆盖，长条的长度就是这个高度处的截面长度，厚度是一个很小的d，所有长条的面积加起来就是图的面积——有一些小的误差，但是当d->:当0时，误差降为0，就得到准确的面积。由于这两个图形的横截面长度在每个高度上是相同的，并且相应条带的面积也是相同的，因此总面积自然也是相同的。上述推理在应用于3D 空时也成立，只要将“截面长度”替换为“截面面积”即可。

维基百科的词条给出了一个有趣的说明:想象桌子上有一摞硬币，摞起来的圆柱体的体积就是硬币的总体积(左)。随意水平移动硬币，得到另一列(右)。新柱的每个截面积与原柱对应的截面积相同，体积没有变化，因为还是那堆硬币的总体积。这个例子说明了祖传原则的原因。

图片:摘自维基百科

祖传原理告诉我们，平行四边形的面积等于基底高度相等的矩形的面积，因为每个高度的截面长度相等。同理，等底等高的三角形(或梯形)的面积也是相等的，因为根据它们的相似性，它们也满足祖尧原理的条件。

图:根据平行线段的比例定理，左右三角形对应高度的截线相等。按照祖传的原则，他们面积相等。摘自mathbits.com

图:三维之间的祖禹原理空:左右物体体积相同。摘自brown.edu

长方体、棱锥体、圆柱体、圆锥体和平截头体的体积

现在说说音量。众所周知，棱柱或圆柱体的体积=底部面积*高度，而棱锥和圆锥体的体积是底部和高度相同的棱柱或圆柱体的1/3，即底部面积*高度/3。为什么？

利用上面的计算正方形的方法，我们知道长方体的体积=底面积*高度。一个立方体可以被切割成三个全等的“直角金字塔”，每个金字塔的底部是立方体的一边，高度是立方体的边长。

照片:摘自math.brown.edu

所以方底方高的金字塔体积是等底等高的棱柱体积的1/3。根据祖先原理和相似性，很容易把这个结论推广到普通的金字塔和锥体。

计算球体体积

不耐烦的观众可能要等一等:为什么这么久了我们还没谈球体？好消息是:现在就说——因为准备工作已经完成。

表面积

说到这里，第一个问题已经回答了。然而，有两件事值得一谈。第一，不仅球的表面积可以看作球的“底面”，而且球的体积可以用金字塔公式推导出来；平面上的一个圆也可以看作是许多高度相同的小三角形的马赛克，用三角形面积公式=底*高/2计算。这里，高度是圆的半径，三角形的底边之和是周长。所以圆面积=周长*高度/2。

这条规则甚至在更高维度也成立。N维之间的球面体积空有如下优美公式:球面体积=球面面积*半径/n，这里的系数1/N来源于N维空中金字塔(学名为单纯形)与对应长方体(超矩形)的体积关系。看，原来这个球是一个底部自动关闭的金字塔，仅此而已。

球表面积的直接计算

还有一点值得一提的是，是否可以不使用体积直接计算球的表面积。事实上，球的表面积与半径为r、高度为2R的圆柱形侧面积相同。下图中左边的球和右边的圆柱体半径和高度是一样的，就是球刚好能装进圆柱体卡住。这个圆柱体的横向面积(不包括上下底部)很容易计算:

我们所知道的球的表面积。

照片:摘自wolfram mathworld

实际上，球体的表面积与圆柱体的侧向面积是“一一对应”的，任意一对平行平面所切的球体面积(左浅蓝面积)与圆柱体对应的侧向面积(右浅蓝面积)相等。这件事最早是阿基米德在《论球与圆柱》中写的，后来被称为阿基米德的帽箱定理。

总结

球体的几何性质是一个迷人的领域。在这里，我们试图用初等数学和几何直觉来解释阿基米德和祖父子是怎样被先驱者发现的。无法判断是否达到了“让五年级学生理解”的目的，但最终还是避开了微积分等高级数学语言。个人认为，用简单的语言解释数学原理是一个巨大的挑战，也是一个“回归自然”重新看到隐藏在抽象符号背后的直观原理的机会。