圆的切线方程 「206011」高中数学：求圆的切线方程的几种解法

求通过一个点与一个圆相切的切线方程，画一个图。

解决方法1:利用如图1所示的圆上一点的切线方程，让该点的直线与圆相切。根据求圆上一点切线方程的公式，圆的切线方程如下

因为切线与该点相交

因此

因为点在圆上

所以

同时和

代入得到圆的切线方程为和。

解决方法二:利用勾股定理，让切线与已知圆相切于一点。因为圆的方程是，圆心o的坐标是

，连接

，那么

，所以通过勾股定理，得到

，也就是

，所以

因为点在圆上，所以同时得到、和

代入切线方程，得到的圆的切线方程为和。

解决方案3:利用两条垂线的斜率为负倒数的关系。假设直线和圆相切，那么

。因为，所以...

，所以切线方程是

。

因为过了点，代入上式

和

以下同解决方案2。

解决方案4:使用圆锥曲线切线的定义

它是圆上的任意一点，构成割线

在另一点相交

，那么

，因为

两点都在圆上。因此

必须

代入得到

，当q和

巧合，也就是什么时候

,

，割线的斜率

它成为圆上一点切线的斜率

，所以

。以下模拟解3。解5:利用点到直线的距离公式，将圆的切线斜率设为k，切线方程为

，也就是

。因为圆心的坐标是半径

，所以由点到直线的距离公式，得到

，解决方案

。切线方程

，也就是结合图形，我们知道另一个切线方程是。解6:用斜率为k的圆的切线方程因为圆的方程是，所以根据圆，

的正切方程

，不得不

。因为

点在切线上，所以

。

求解:将k值代入得到正切的方程，再结合图形知道另一个正切方程。

解决方案7:利用切线和圆只有一个公共点的性质

设圆的切线方程为

代入，整理

。因为直线和圆相切，所以只有一个公共点，所以方程有两个相等的实根，所以

，也就是

，所以

代入方程，消去x和y，整理出来

。

因为直线与圆相切

因此

，也就是

。因为..

，所以

。因此

或者

，也就是

。因为..

，所以

由用代换法消除参数t得到

，将在

代入的值，得到圆的切线方程如下

解9:利用两条直线重合的条件

假设直线和圆相切，切线方程为

因为切线与点和相交

，所以根据两点公式得到的切线方程可以表示为

，也就是

因为和代表同一条直线，根据两条直线重合的条件，我们得到

，解决方案

代入或得到圆的切线方程。解10:因为有不动点，所以用圆经过圆外某点的切线方程

引入圆的两条切线的方程式是

所以圆通过该点的切线方程为

。

简化和整理，获得

。因此

。因此

所以圆的切线方程是和。

最后，必须注意的是，本题目中的一条切线与Y轴平行。由于平行于Y轴的所有直线的斜率都不存在，所以对于解5、6、7只找到一个切线方程，而忽略了另一个平行于Y轴的切线。遇到这种情况，一定要结合图形找到另一种解决方法，一定不能忽视。

-结束-