素数定理 呈现的艺术——素数定理

注:原文发表于知乎。原文标题是呈现艺术——素数定理。现在，作者贾已经同意在本微信官方号上转载。特此感谢！

具备高中数学知识，掌握基本微积分知识，有一定的数学成熟度。

0.介绍

数学的表现形式很大程度上依赖于记数法。即使数学家对不同的研究对象感兴趣，但毫无疑问，现代数学在形式上已经进化到了非常复杂和令人望而生畏的程度。没有严格的训练，普通人是无法理解符号和符号背后的含义的，但正是这些复杂的符号体现了现代数学的先进性。越多的符号代表了呈现手法的多样性，而正是这种多样性才能描述出隐藏在柏拉图世界中的“真理”。

其中给出了所有素数的个数。如果使用渐进符号，

。

1.初步调查结果

过去的数学家通过人工计算发现了素数的频率

似乎有一个特定的规则要遵循——它与

非常接近。在没有严格证明的情况下，这种现象只能视为某种巧合。

。

之后，切比雪夫在证明这个猜想上又迈出了一大步，得到了如下结论:

生存满足

存在，则等于1。

本文将简要介绍如何证明切比雪夫定理的前半部分，我们将见证解析数论中经常出现的一些概念和技巧是如何工作的。

2.大O，阿贝尔引理等算术准备

算术函数是指从自然数集到复数集的函数。前面提到的就是一个例子。我们需要提到的另一个算术函数是曼戈尔德函数

如果是素数，定义1，否则。

请注意，如果它是唯一分解的，

，那么

，，，因此

，所以

，那么

。利用阿贝尔引理，我们可以得到以下两个结论，这个过程需要读者自己去验证。

引理1

引理2

切比雪夫用了一个至关重要的观察。

。

然而

，所以

。此外，使用

，所以。

3.剧烈的

先证明一下

根据定义，

由于

,

其中使用了粗略的估计。

为

从可用，

选一个够大的，

本文的数学内容是根据M. Ram Murty在YOUTUBE上的演讲整理的。