密克定理 密克定理

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今天我要讲一个不寻常的定理:米克定理。

米克三角的这个重要性质也需要证明。但是不难。

证明

如下图所示。

连接A2P和A3P。考虑≈A 2pa 3。因为点p的位置是确定的，所以这个角度是固定值。它等于两个角度之和:

≈A 2pa 3 =≈a2pp 1+≈a3pp 1

两个角度分别等于A2P3P1和A3P2P1。因此

≈A 2pa 3 =≈a2p3p 1+≈a3p2p 1

两个直角等于180°减去它们的余角:A1P3P1，A1P2P1。因此

≈A 2pa 3 = 360-

考虑用黄色画的四边形A1P3P1P2，其内角之和等于360°。所以上式中的差恰好等于≈A ^ 1+≈P ^ 2p 1p 3。因此

≈A 2pa 3 =≈A1+≈P2p 1 p 3

而且≈a1也是一定的，所以2P1P3是固定值。这个固定值不受移动点P3的移动的影响。同理，Mieke三角形的另外两个内角也是固定值。这就是为什么上面动画中标注红、蓝、绿的内角尺寸不变的原因。

最后，需要证明的是，Mieke点P是所有这些拟似Mieke三角形的相似中心。这个也很简单。连接A1P。PA 1P2是固定值，等于≈P 2P3P。所以≈P 2P3P是固定值。同理，其他五个状态相同的角度都是固定值，所以对于任何不同的米克三角形，点p都有点像。所以p点一定是所有这些米克三角形的相似中心。因为点P是固定的，看起来这几个MIKE三角形都是围绕点P旋转的，移动的同时形状不变，大小也在变化，也就是旋转的同时缩放。