从正八面体，构建：正四面体，正方体，正二十面体......

数学教学研究本公众号内容均由邵勇本人独创，可以转发，但转载则需获得邵勇本人的授权。每周推送两到三篇内容上有分量的数学文章，但在行文上力争做到深入浅出。几分钟便可读完，轻松学数学。

下面所讲内容其实都很浅显，孩子们是可以接受的，孩子们的想像力远在我们成年人之上，我们必须耐心讲给他们听。如果再辅以实物教具，或借助数学软件，相信一定会达到很好的效果。

今天讲正多面体的作图问题。我们从正八面体出发。从正八面体可以作出正四面体，正方体，正二十面体（当然从正二十面体可以得到正十二面体）。

一、从正八面体出发，作图，得到正方体

如下图所示。正方体与正八面体是对偶多面体，所谓对偶，就是说，连接正方体（有六个面）相邻两个界面的中心，将得到正八面体（这也说明了为什么正方体的界面数等于正八面体的顶点数，都是6）；反之，连接正八面体相邻两个界面的中心，将得到正方体（这也说明了为什么正八面体的界面数等于正方体的顶点数，都是8）。注意下图中，作为示意，大一些的点为所在界面的中心（正方形界面的中心为两条对角线的交点，这个很好找到；而正三角形中心则是两条中线的交点，也很容易确定）。（另外，可以让学生也知道一下，正十二面体与正二十面体也是对偶多面体；正四面体的对偶多面体还是正四面体。）

从正多面体界面出发找中心来确定对偶多面体顶点的方法，虽然简单容易，但不管是从正八面体开始作正方体，还是从正方体开始作正八面体，所得到的正多面体都是越来越小。下面我要介绍如何从正八面体出发反方向画出正方体。如下图所示，就是要从黑色正八面体出发，画出比它大的对偶正方体（红色），即让这个正方体的6个界面的中心正好就是正八面体的6个顶点。

第一步：连接正八面体相对的顶点，得到线段AC，BD和EF。它们交于点O。

第二步：过点F作直线与OC平行；过点C作直线与OF平行。它们相交于点G。

第三步：过点G作直线平行于DO。在其上取GH等于DO。

我就只写出这三步，这时我们得到了GF，GC和GH这三条线段。有了这三条线段，我们就可以很容易地作出上图中的红色正方体了。下面的过程可以留给孩子们自己去思考、想像。教师可以把只印有正八面体的图形打印出来发给孩子们，让他们在上面画出正方体。并要学生们注意实线、虚线的不同。不必比较学生画图的快慢，重要的是正确性。

二、从正八面体出发，作图，得到正四面体

可以作出两个包含正八面体（图中黑色）的正四面体（图中蓝色和红色，它们相交部分就是正八面体）。

在从正八面体作正四面体之前，需要事先搞清楚正八面体与正四面体的关系。正多面体有三种构成元素：顶点，棱、界面。正八面体有6个顶点，12条棱和8个界面。而正四面体有4个顶点，6条棱和4个界面。两者之间有一个数“6”是共有的。由下图可以看出，正八面体的6个顶点就是正四面体6条棱的中点。这不是偶然的。取正四面体6条棱的中点，把它们中相邻的点连接起来，就得到正八面体，这6个中点就是正八面体的6个顶点。其实，上述过程等价于从正四面体上截去四个小正四面体（下图中的ABER，BCFP，ADFQ和CDES）。

反过来，选取正八面体上四个没有公共棱的正三角形界面（间隔着的四个界面；另外四个界面也是间隔着的），如下图中的ABE、CDE、BCF和ADF。

从这四个界面向外各补上一个正四面体。则这四个新做出的正四面体与原正八面体就合成为一个大的正四面体。它就是我们所要求作的正四面体。如下图所示。

添加正四面体这种做法，让我想到了曾经见过一道竞赛题：有一个正四棱锥，它的侧面三角形界面都是正三角形。在它的相对的两个侧面上各向外添加一个正四面体，这两个正四面体的正三角形面与被添加正四棱锥的侧面一样大小。问添加后的立体共有几个面？

这个题目当时的标准答案是9个面，因为原正四棱锥有5个面，在两个侧面上添加正四面体后，这两个侧面被盖住了，即面数减少了2，而两个正四面体各有一个面贴在了原正四棱锥上，所以，还有各3个面露在外面，共6个面。再加上原正四棱锥还剩下的3个面（另两个侧面和底面），所以，最终一共是9个面。但是，在参加那次比赛的选手中有一位小男孩，他的回答是最终立体有5个面，因为有些面正好位于一个平面内了，不能重复计算。如下图所示。后来评委承认了出题不慎，改正了错误，判小男孩答案正确。这个事件在数学史上是很著名的，也同时印证了我开篇时所说的话。孩子们是了不起的，我们对他们是引导，是提供素材，然后让他们去做。孩子们天生具有数学能力。

原来，由上图可以惊奇地发现（也很容易证明，但不画图真的不容易看出来），原正四棱锥的侧面ADE与添加上的两个正四面体中各一个界面（AEF和DEG）正好位于一个平面内。正四棱锥另一三角形侧面BCE与两个正四面体的各一个界面（BEF和CEG）也位于同一个平面内。从而，实际上，最终的立体就只有五个面了：正方形底面ABCD；正三角形侧面ABF和CDG；等腰梯形侧面AFEGD和BFEGC。（我要为那个小男孩点100个赞！）

把两个上图这样的“五面体”的正方形底面紧贴在一起，但两者的最长棱互相垂直，正好拼成一个正四面体。如下图所示。这也同样可以用小男孩的思路加以解释：两个正方形面贴在一起，都消失了。一个“五面体”中的两个等腰梯形界面分别与另一个“五面体”的两个正三角形界面位于一个平面上，拼出两个大的正三角形界面。类似地还可以得到另外两个大的正三角形界面。一共是四个大的正三角形面。

好的，上面这段内容算是花絮吧。我们继续今天的内容。

上面所说是理论，具体作图则需要可行性。从下图中正八面体ABCDEF中的三角形界面ABF和BCE出发，”扩展“出两个大三角形PQR和PSR，于是，所要构造的正四面体的4个顶点都出现了（P、Q、R、S），于是就可以画出这个正四面体了。如下图红线所示。

上面我们学会了从正八面体做正四面体的方法。其实，我们可以做出两个这样的正四面体，并且这两个正四面体”长“在了一起，它们一起共八个顶点，是一个正方体的8个顶点，更为惊奇是的，这个正方体与原正八面体是对偶多面体。这样一来，正四面体、正方体和正八面体这三者之间就建立起了紧密的联系。如下图所示。

并且，我们还可以挖掘出正多面体之间的很多关系。比如，正方体有6个面，每个面有两条面对角线，所以一共有12条面对角线；这些面对角线的长度正是图中正四面体的棱的长度；每个正四面体有6条棱，两个长在一起的正四面体共有12条棱，加起来正是正方体的12条面对角线（图中是6红、6蓝）。

上面提到的正四面体、正方体和正八面体这三种正多面体再加上另外两种正多面体：正十二面体和正二十面体，这五种正多面体之间存在着错综复杂的关系，限于篇幅，这里不深入介绍。大致是，只要这五种正多面体中的任何两种，一旦它们的顶点数、棱数或界面数中出现相同的数字（甚至倍数关系），两者就会有联系。下面所讲就反映了其中的一种关系，它是本期内容的重点——从正八面体出发，作出正二十面体。

三、从正八面体出发，作图，得到正二十面体

首先，正八面体有12条棱，而正二十面体有12个顶点。这两个”12“暗示了从正八面体的12条棱上确定出12个点，把这12个点中相邻的点连成线段，就可以构造出正二十面体。但我们需要有具体的操作步骤和证明。下面就来介绍。

我们在正八面体12条棱每条棱上取一个点，这个点是这条棱的黄金分割点。一条棱上有两个黄金分割点，取哪个呢？具体来说，先在正八面体的某个三角形界面上，比如在LMN上，在它的三条边上分别取三个黄金分割点A、B、C，使它们是旋转对称的，即

LA / AN = NC / CM = MB / BL = φ

(约等于0.616）

即

LA = MB = NC；AN = CM = BL

这三个点取定后，其他所有点就跟着确定了。如下图所示。

针对一条线段定出它的黄金分割点，应该让学生知道。用尺规作图法可以精确作出。或者近似地取棱长的0.618得到黄金分割点。下图是简单的说明：

好的，继续。观察下图。

黄金分割点A、B、C构成的三角形ABC当然是正三角形，它就是所求作的正二十面体的一个界面。我们按照上面的方法可以唯一地作出20个正三角形。这20个正三角形可以分成两类：与ABC同类的有8个，它们分别位于正八面体八个不同界面上；还有12个面，则是根据另一种构成方法，上图中的三角形ABD是其中之一，这个三角形中AB和AD（相等的）各位于正八面体的两个面上，而BD从正八面体内部穿过。如果我们能够计算出从而证明BD等于AB，那么上面所做出的20个正三角形就是全等的。到目前为止，我们所做的事情还是很成功的。但还有一点需要保证，就是这个刚刚构造出来的二十面体是正二十面体。下面我们先来证明上图中两类不同的棱（在正八面体界面上的和不在上面的）的长度是相等的（即要证明AB=BD）。

不妨设正八面体的棱长为1。则AL就等于其值约等于0.618的那个无理数φ：

在三角形ALB中应用余弦定理，得：

在三角形BLD中应用余弦定理，得：

上面两式中看似AB平方与BD平方不相等。但是，我们需要分析一下黄金分割的本质。所谓黄金分割点，就是

整段 ：长段 = 长段 ：短段，

从而有

所以有

把上式代入前面计算公式中，得到

从而有

AB = BD

从而证明了图中的两类20个三角形都是全等的正三角形。因为每个这样的正三角形的三个顶点到正八面体中心的距离都相等，所以，每个三角形与中心可以构成一个正三棱锥。如果把这种正三棱锥比做一束花，那么这20个正三棱锥就好比顶点聚拢在一起之间没有空隙的一个大花球。这20个正三棱锥大小一样，侧面紧贴着侧面，所以，它们的地位是相同的，这就使得每两个三角形界面之间所形成的二面角必定相等（比如上图中蓝色与绿角三角形界面之间的二面角）。所以，这20个正三角形界面一定构成正二十面体，而不是其他什么不规则的二十面体。

正八面体12条棱上的另外12个黄金分割点则可以构成另外一个同样大小的正二十面体。这两个正二十面体，其中一个正二十面体绕正八面体过相对顶点的轴旋转90度就可以与另一个正二十面体重合。