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摘要：特征分解、奇异值分解、Moore-Penrose广义逆函数

矩阵分解

特征向量和特征值

我们在《线性代数》科学习过方阵的特征向量和特征值。

λ 又找A确实不是一件容易事。好在，我们可以把这事儿交给Tensorflow去解决。我们可以用来求特征值，相当于MATLAB的eig函数，只不过名字长了点。

例：

附：MATLAB例:

也就是说，A1矩阵有3个特征值-1,3,3。

特征分解

我们把用self_adjoint_eigvals求出来的向量转换成对角矩阵：

奇异值分解

对于多数方阵，我们可以进行特征值分解。如果对于非方阵该怎么办呢？答案是我们有类似的奇异向量(Singular vector)和奇异值(singular value). 通过奇异向量和奇异值，我们可以把非方阵进行奇异值分解（singular value decomposition），简称svd.

我们可以通过函数来做奇异值分解，例：

As矩阵是23的矩阵。所以U是22的，而V是3*3的。第1个值是奇异值，[9.508032 , 0.77286964]，它是D的对角线上值，其它位置为0.

D的完整值为：

三个矩阵的完整值为：

我们来验算一下这个奇异值分解是不是正确的，别忘了V是要转置的：

虽然是有点浮点计算误差，但是结果还确实是我们分解前的那个。关于计算误差的问题，在机器学习中也自然是重要问题，后面会讨论。

Moore-Penrose广义逆

铺垫了这么多，其实我们是在为解线性方程组奋斗。我们在第一节Tensorflow的线性回归例子，还有神经网络的例子都看到，求解线性方程组是重要的运算。

形如Ax=b的线性方程组，如果A有逆矩阵就好办了，两边分别右乘A逆就可以解出方程组。

但是问题是，机器学习中有很多方程是欠定的(underdetermined)。

这时候我们就需要一种类似于逆矩阵的工具 - Moore-Penrose广义逆(pseudoinverse)。

Moore-Penrose广义逆定义如下：

这个定义在计算时是没法使用的，我们使用另一个公式来算

广义逆简史

首先复习一下逆阵的概念，如果一个矩阵有逆阵，条件为：

1. 必须是方阵
2. 行列式不能为0

美国数学家Moore于1920年逆矩阵的概念推广到任意矩阵上，使用的方法是正交投影算子来定义的。

1955年，英国数学家Penrose用下面的方程组来定义广义逆：