如何确定图片种坐标系、如何给图片建立坐标系

一张图片，我们怎样对其进行平移、旋转、放缩、倾斜、反射变换呢？

普通坐标系

我们知道，一副 RGB 图片可以看做是一个 R^2 -> R^3 的一个映射，即图中坐标 (x,y) 的点颜色为 (Red,Green,Blue)。

对于图像变换，我们可以认为是一个匹配问题，即：新图像中的坐标对应于原图像中的哪个坐标？

显然矩阵是我们进行线性变换的好帮手。我们接下来对上述不同变换分别讨论。

1.放缩（Scalling）

新图像坐标应该分别变为原来的某些倍，显然：

因为涉及到矩阵计算，所以这里为了方便直接使用 numpy 了，后面代码相同。感兴趣的同学可以用 C++ 调用 blas 库自己写一写。话说这种双层 nest for 太丑陋了，有比较好的 map 方法的话求告知。

我们对甜甜私房猫 width、height 分别做 0.5、0.7倍放缩得到图像如下所示，想变瘦的可以用这个矩阵

2.倾斜（Skewing）

这个有点像我们高中学的斜二测画法，倾斜示意图如下所示：

易观察到，倾斜有 x、y 两个方向的倾斜情形，对于两种情形，都只需要保证其中一个坐标不变，另一个沿相应方向平移一定距离即可。

上面是对 width 方向进行倾斜的 skewing 矩阵，对 height 方向倾斜的矩阵类似。代码只要将 scalling 矩阵换成 skewing 矩阵即可，这里不再赘述。一个绕左上角点沿 width 方向倾斜12°的实例如下所示：

3.旋转（Rotating）

旋转的本质是选择对应旋转的基向量，通常情形我们的基向量选择列向量 [1,0] 和 [0,1]，平面上任何的点都可以表示成 x、y 份前述向量的线性组合。现在我们选择旋转好的新单位基向量 [cosθ,sinθ] 和 [-sinθ,cosθ]，份数不变，则可以在旋转坐标系中相对位置不变，整体来看完成了旋转。

变换矩阵如下所示。注意要以列向量的形式理解变换矩阵。

由于 numpy 对于图像的计数方式是从左上角 (0,0) 开始向右、向下递增，所以直接旋转也是按照左上角旋转。旋转太多，我们的喵不见了。

我们可以通过对所有 x、y 坐标 offset 半个图像的宽、高来将图像中心平移到原点，此时旋转为绕图像中心旋转。操作完我们再移回来（反向 offset）即可。喵喵回来了！

4.反射（Reflecting）

反射是说我们希望将图像沿着某条直线做镜像对称变换。（也叫 Householder 变换）

这个的变换矩阵比较复杂，不过根绝镜像点、原点连线与“平面”法向量平行以及它们的中点在“平面”中细心推导还是可以蛮简单的。假设我们希望沿着 (lx,ly) 向量旋转，那么公式可以推导如下：

沿着 (1,0.8) 镜像翻转的示意图如下所示（有点像旋转，但请注意那只爪印即可区别于旋转）：

齐次坐标系

1.平移

普通坐标系对大多数坐标变换都是那么地友好，但是最简单的平移它却不能做！这是因为无论怎样设置 2*2 的变换矩阵都不可能为原坐标加上常量。这时齐次坐标系应运而生，通过给原始的坐标表示加上一个维度，即可在保留普通坐标系变换方式的同时，增加对平移的支持！此时变换由 3*3 矩阵表示。

显然，增加了一维可以用于给坐标添加常量。

此时代码坐标添加一维即可（加一个1）。

平移结果如下所示：

2.综合变换（来自 Feifei Li）

T、R、S 分别为平移、旋转和放缩矩阵，那么一个融合了这三种操作的变换矩阵如下所示：

红框圈出来的部分即为一个 general 形式的变换矩阵。注意矩阵的乘法不具有交换性，所以这些操作交换后意义有所不同，例如先放缩再旋转和先旋转后放缩并不一样！

总结

本文主要介绍了坐标变换，并介绍了一种非常通用的坐标表示形式——齐次坐标系。这里主要讲了其在二维坐标中的应用，不过原理类似很容易推广到三维乃至 n 维。有兴趣的小伙伴可以自行推导！（三维旋转有些复杂，不过还是化为基向量旋转即可。）

本文部分图片来自 Feifei Li，向她表示感谢！