分数的概念 小学数学最容易搞错的15条基础概念，一定要教会孩子

小学数学的一些基本概念看似简单，但有时候连大人都搞不清楚。下面是给大家准备的一些小学数学中容易混淆的基本概念，希望对大家有所帮助。

最小的个位数是0还是1？

这个问题争论了很久。首先我们来看一下《九年义务教育六年小学数学教材》第98页对“多少位数”的描述:“通常在自然数中，含有几个位数的数叫做多少位数。例如，“2”是一个包含一个数字的数字，称为一个数字“30”是一个包含两位数的数字，称为两位数405”是一个三位数的数字，称为三位数...但是注意:通常，0不是一个数字。

我们来听听专家的解释:在自然数理论中，“几个数字”的定义是这样的。“仅由一个有效数字表示的数字称为一位数字；仅由两个数字表示的数字称为两位数...那么，一个数中的数是多少，这个数就叫几位数。

这里最大位数和最小位数通常在非零自然数范围内研究。因此，有九个一位数，即:1、2、3、4、5、6、7、8和9。

0不是最小的一位数。

为什么0也是自然数？

课程标准教材中“0也是自然数”的规定颠覆了人们对自然数的传统理解。

这里，中央教育学院教材编写组主编陈昌柱说:关于自然数的定义，世界上一直有不同的看法。以法国为代表的大多数国家认为自然数从0开始。我们的教科书总是沿用前苏联的观点，认为0不是自然数。2000年教育部主持教材改编会议时，明确提出将0列为自然数。此次修订也符合国际惯例。

从教学实践来看，将“0”定义为“自然数”也具有积极的现实意义。

2.1“0”作为自然数的“效益”

众所周知，数学中的集合分为两类:有限集合和无限集合。有限集合是包含有限个元素的集合，就像一个班里的一群学生。无限集合是具有无限数量元素的集合，例如一组分数。因为自然数具有“基数”的性质，所以用自然数来描述有限集合中的元素个数是很自然的。

但在有限集合中，有一个最重要最基本的集合，叫做空集合{}，元素个数是0。如果0不是自然数，则空集合中的元素数不能用自然数表示。如果把“0”看作自然数，那么自然数就可以完成描述“有限集合元素个数”的任务。在这里，从“自然数基数”的角度，我们可以看到把“0”作为自然数的好处。

2.2以“0”为自然数不会影响自然数的“运算功能”

传统自然数集增加了“0”，所有的“运算规则”仍然保持。比如新自然数集中的任意两个自然数{0，1，2，…，n，…}可以相加相乘，运算结果仍然是自然数。同时不会影响加法和乘法的组合规律和交换规律，乘法的分布规律。

所以“0”加入自然数的集合是理所当然的，而不仅仅是人为的“规定性”。它让我们更好地理解自然数及其作用，同时也让我们认识到，我们不仅要认识和记住数学的“定义”和“规定”，还要思考“规定”背后的数学含义。

什么是有效数字——无效数字？

有效数是为了一个数的近似值的准确性而提出的。如果同一个近似数有更多的有效数，那么它会比有效数更少，更准确。

一般来说，如果一个近似数四舍五入到哪一个，就说近似数精确到哪一个。此时，从左边第一个非零数字到那个数字的所有数字都称为这个数字的有效数字。

例如，近似数字0.00309有三个有效数字:3、0和9；0.520也有三个有效字:5，2，0。

0.00309左边三个零，0.520左边一个零，都叫无效数。

加减乘除是倒数运算吗？

“加减是互逆运算，乘除是互逆运算”似乎是很多老师的口头禅，其实是一种误解。例如:

加“2+3 = 5”，其逆为“5-2 = 3”，“5-3 = 2”。

所以加法的逆运算只是减法；

减法“5-2 = 3”，其逆算是“5-3 = 2”，“2+3 = 5”。

所以减法的逆运算包括减法和加法。

综上所述，只能说减法是加法的逆，不能说加法和减法是彼此的逆。

同样，只能说除法是乘法的逆运算，而不能说乘法和除法是彼此的逆运算。

为什么不写“时代”？

在学习“一个数是另一个数的多少倍”的应用问题时，很多孩子自然会问这样的问题，比如:“喂养组养了12只鸡和3只小鸭，鸡的数量是小鸭的几倍？”为什么不在“12 ÷ 3 = 4”后面写“倍”？

首先要肯定学生的疑惑。但同时也要向学生说明:在解决应用题时，编号的单位名称通常是在获得编号后写的

如:12“只”；八克“克”。只有用单位的名称，一个数字才能准确地表示一个物体的数量、大小、长度、重量等。但是，“次数”不是一个单位名称，它代表的是两个量之间的关系。比如上面的计算结果“4”就是说12个中有4个3s，也就是12只鸡是3只小鸭的4倍。

所以公式中不要写“次”，以免“次”和单位名称混淆。

“倍”与“倍数”的区别

第一期我们学习了“倍数”的概念，学习了“倍数”的概念。那么，“倍”和“倍数”这两个词是一回事吗？这两个词有什么区别？

“倍”指的是数量关系，是以乘除概念为基础的。比如10个男生，30个女生。因为“10×3=30”或“30÷10=3”，所以我们说女生的数量是男生的三倍，或男生的三倍等于女生。吴宁说的“次”其实是指两个数的商.

“倍数”指的是数字之间的联系，是基于除法的概念。例如，30可以被6整除，30是6的倍数。可见“倍数”不能独立存在，对数的形式有特殊要求。

同时我们可以看到，30也是6的5倍，因为6×5 = 30，“6×5”就是6的5倍。所以，从这个角度来说，“多重”的含义应该比“多重”更广，后者可以看作是前者在特定情况下的一种表现。

「小时」和「小时」有什么区别？“小时”和“小时”怎么用？

首先要明确的是不是国际时间单位。1984年，国务院发布了《关于统一中国法定计量单位的命令》，以秒为基本时间单位，以日、、分钟等非国际时间单位为辅助单位。

7.2用语言表达时间长度时，为避免“时间”和“瞬间”两个概念混淆，在“时间”前加“小”字。比如超市12小时营业。

7.3用语言表示时间时，不得出现“小时”一词。例如，公园每天早上7: 30离开。

「重写」和「省略」一样吗？

形式上，这个例子把“重写”和“省略”的对数变化放在同一个要求下。我们真的希望编辑不是故意的，因为“改写”和“省略”的本质是完全不同的。表现在:

8.1不同的目的

“重写”的目的是为了方便阅读和书写大数，“省略”是取数的近似值。

8.2不同的方法

这里的“重写”是去掉“十亿”位后的0，写“十亿”字，而“省略”不仅要找到“十亿”位，还要考虑被省略尾数的最高位数，然后用四舍五入的方法找到近似值。

8.3不同的符号

“重写”只改变数字的表达方式，大小不变，用“=”连接；而“省略号”不仅改变了数字的形式，也改变了数字的大小，所以要用“≊”来连接。

「距离」只是「距离」吗？

这两个词在许多教师的教学语言中被代替使用，但它们不是。

“距离”是指从一个地方到另一个地方的路线长度；而“距离”是指连接两地的直线的长度。

“旅程”所走的路线可以是曲线、直线或折线。

一般两地的“距离”大于两地的“距离”。只有两地之间的路线是直的，距离和距离才相等。

虽然老师都知道这个方程是真的，但是我们的学生却没有相应的知识储备，那么如何绕过“极限”，找到一个小学生都能理解和接受的证明方式呢？

最高分单位是1/2还是1/1？

先看小数单位的含义:将单位“1”分成几个相等的部分，表示这几个部分的个数。

显然，从分数的意义上来说，关键是“分”。没有“分”，就没有“分”。

因为单元“1”平均分为至少两份，从中得出的评分单位是1/2，所以1/2是最大的评分单位。

虽然1/1也可以看作广义的分数，但它不再是我们通常所知道的与整数相对的那种分数。所以最大得分单位应该是1/2。

像0/3，0.2/3，3/0.2这样的数字是分数吗？

分数的定义清楚地告诉我们，单位“1”被均匀地分成几个部分，代表这一个或几个部分的数叫做分数。其中除以的股数称为分数的分母，要表示的股数称为分子。

所以分数的分子和分母应该是非零自然数。从这个意义上说，这些数字只有分数的形式，而没有分数的本质，所以不应视为分数。

再者，在考察学生对“分数”含义的理解时，要把重点放在通常意义上的分数上，把这些变式纳入思维范围，对培养学生思维的实际意义不大，会使“分数都大于0”等命题的真假尴尬。

大于6的1/2应该是“6+1/2”还是“6+”

要理解这个问题，首先要理解“6”的本质。显然，这里的“6”的本质是“数”，而不是“量”。求“一个数比6多1/2”应该属于“求一个数比一个数多”的范畴。问题中的“多几个”是一个特定的数字，这里的“几个”可以是整数、小数或分数。所以这里的“1/2”是在6的基础上“多1/2”，而不是“6的1/2”。

所以“6多1/2”应该是“6+1/2”。

当然，如果题目确定为“6多1/2”，那么答案属于后者。

不乘以100%能算出勤率吗？

首先我们来看看三个不同版本的教材对类似问题的理解:新人民教育版、北师大版、江苏教育版。

同样的课程标准下，不同的教材给出不同的理解，给老师带来困惑:我们能不能不要百分百？笔者认为“××率”的结果一定是百分比。以出勤率为例，就是搞清楚实际出勤率应该是多少百分比。

如果公式只写成:出勤率=实际出勤率数/出勤率数，我们说这只是分数形式，而不是百分比。

所以公式后乘以“100%”，既能保持计算值不变，又能保证结果形式满足百分比的要求。所以在计算出勤率、发芽率、出粉率、合格率的公式中要乘以“100%”。

同时建议编辑和不同版本教材的编辑统一思路，以免给一线教师造成理解上的混乱。

所有小于90度的角都是锐角吗？

根据课程标准的教科书定义，小于90度的角称为锐角。答案似乎是肯定的，但新的问题出现了:什么是0度角，也是锐角吗？

事实是锐角的定义有一个隐含的前提，就是小学数学讨论的所有角度都是正角度。传统上，逆时针旋转光线得到的角度称为正角度，顺时针旋转光线得到的角度称为负角度。当一条光线根本不旋转时，就被认为是零角度。如果把角度的概念推广到任意角度，应该分为正角度、负角度、零角度。

所以严格意义上的锐角定义应该是:大于0度小于90度的角叫锐角。

足球比赛记分牌上的“3 2”在数学上是“比”吗？

我们至少可以从两个方面理解他们的不同。

一、球类运动中的“3 2”表示比赛双方得分情况，这是一个“差”比，即表示差距关系，一方得3分，另一方得2分，双方相差1分；数学上“3 ^ 2”的意思是“3 ^ 2”，是“乘以”的比值，商是1.5。鉴于此，球类运动中下面的“比”数可以为零，而数学中下面的“比”数不能为零。

二、数学中的“比”可以简化，如“4:2 = 2:1”；同样的“4 2”放在球类运动中，但不能简化。如果简化的话，并不能反映双方在游戏中的实际得分。