高中趣味数学 高中趣味数学知识，看看你知道哪些

极客数学帮助组织高中有趣的数学知识。之前我们在《星会》里介绍过数学大师欧拉。年轻时，欧拉向圣彼得堡提交了一篇论文《格涅斯堡的七座桥》。在指出这个问题没有解决办法的同时，欧拉还创立了数学的一个新分支——图论和几何拓扑。那么数学中还有哪些有趣的数学定理比如七桥？今天我们借助极客数学来看看高中有趣的数学知识。

椰子上的毛是永远弄不直的

想象一个表面有毛的球。能不能把头发全部梳平，不留一根梳子样的头发或者卷发样的头发？拓扑告诉你这是不可能的。这个叫毛球定理，最早是布劳威尔证明的。在数学语言中，球面上不可能有连续的单位矢量场。这个定理可以推广到更高维空:对于任意偶数维球面，都不存在连续的单位向量场。毛球定理在气象学中有一个有趣的应用:由于地球表面的风速和风向是连续的，根据毛球定理，地球上总会有一个地方的风速为0，这意味着气旋和眼孔是不可避免的。

在任何时刻，地球上总有两个对称点，它们的温度和大气压是完全一样的

波兰数学家ulam曾经猜想，给定一个从n维球面到n维空的连续函数，在球面上总能找到两个与球面中心对称的点，它们的函数值是相同的。1933年，波兰数学家博苏克证明了这个猜想，这就是拓扑学中的博苏克-乌拉姆定理。

Bosuke-ulam定理有很多推论，其中一个是地球上总有两个对称点，它们的温度和大气压力值是完全相同的。这是因为我们可以把温度值和大气压力值的所有可能的组合都看作平面直角坐标系上的点，所以地球表面各点的温度和大气压力的变化可以看作是从二维球面到二维平面的函数，这个函数可以从Bosuke-ulam定理推导出来，而且必须有两个函数值相等的对称点。

当n=1时，Bosuke-ulam定理可以表示为:在任意时刻，地球赤道上总有两个温度相同的点。对于这个弱化版的推论，我们有一个非常直观的证明方法:假设赤道上有两个人A和B，他们关于球体中心对称站立。如果此时他们所在的地方温度相同，问题就解决了。接下来，我们只需要考虑他们所在的地方温度高低的情况。我们假设A在10度，B在20度。现在，让两个人以相同的速度和相同的方向沿着赤道旅行，并保持他们始终处于对称的位置。假设在这个过程中，每个地方的温度都是恒定的。在旅途中，两人不断报告当地的温度。当两人都绕赤道半周，A会到达B的初始位置，B也会到达A的初始位置，全程中A报的温度从10°连续变化，最后变成20°；而B经历的温度从20开始，最后不断变化到10。那么，他们引用的温度值中间一定有一个“交点”时刻，这样我们就可以在赤道上找到两个温度相等的对称点。

醉醺醺的醉汉总能找到回家的路，而醉鸟可能永远也不会回家。

假设有一条水平直线，从某个位置开始，向左走1米的概率为50%，向右走1米的概率为50%。这样无限随机行走，最终回到起点的概率有多大？答案是100%。在一维随机游走的过程中，只要时间足够长，我们总能回到起点。现在考虑一个在街上随意走动的醉鬼。假设整个城市的街道呈网格状分布，酒鬼每次走到十字路口都会等概率选择一条路继续走下去。那么他最终回到起点的概率有多大呢？答案还是100%。起初，醉汉可能会越走越远，但最终他总能找到回家的路。然而醉鸟就没那么幸运了。如果一只鸟每次飞行时都从上、下、左、右、前、后等方向选择一个方向，它很可能永远不会回到起点。事实上，在三维网格中随机行走，最终回到起点的概率只有34%左右。这个定理是著名数学家保利亚在1921年证明的。随着维度的增加，回到起点的概率会越来越低。在四维网格中随机行走并最终返回起点的概率为19.3%，而在八维空中，概率仅为7.3%