三角者的秘密

2019年1月15日星期二

你文具盒里的三角尺是什么样子的?

经常画文具

三角子为什么长这样?

当然,三角子的形象当然是“三角形”。

这个问题并不是在纠结三角尺的外形为什么不是四边形、圆形或其他,为什么上面会印制有不同的广告和图案,而是在较真为什么是这样的一对三角形。全世界的三角尺无论大小、材料、使用对象和场景,似乎都具有形状上的相似性,好比不同比例尺的地图,不同大小的国旗、国徽。外形背后的具体秘密是什么,抑或制造的标准或约定是什么,才是本文要探讨的。

  本文的阅读受众定位于小学生,自然也以“三角尺文具”为主要讨论对象。高级受众应当谨防不慎阅读后产生的智商“被低估”或“被侮辱”的不适感觉。

  随着数学学习的逐步深入,小学生使用的测量、作图文具越来越多。由直尺、三角尺、量角器再到圆规,逐渐盛满了文具盒。了解并熟练地使用这些文具,是重要的数学技能。

  小学生最先使用的作图文具应该是直尺。一方面是画直线的需要,另一方面是学习长度单位“厘米”、测量线段长度的需要。直尺把抽象的单位“厘米”具体化、形象化了。按理说,真正的使用直尺应该在小学二年级。一年级对于计量单位的学习主要是时间单位“整时”的认识和货币单位“元、角、分”,这二者具有广泛而深厚的生活基础,较早地进入了学龄前儿童的生活经验中。然而,一年级学生也可能使用直尺,因为进入小学要背小书包,小书包里要有文具盒,文具盒里爸爸妈妈有时也会稍带着准备一把直尺。他们时常会拿着当“兵器”玩,偶尔也会发现,有了直尺后,可以用铅笔画出笔直的线,比较漂亮的线。当然,这种用法只能算是玩具和美术的运用,而不是数学的运用。

人教二数上册3页

  接下来应该是三角尺。除了继续发挥直尺的作用,三角尺最初被用来认识“直角”、画直角、比较角。

人教二数上册39页:认识直角

人教二数上册40页1:认识直角

人教二数上册40页2:画直角

人教二数上册41页:比较角

  然后是量角器。三角尺虽然被用来“认识直角、钝角、锐角”,但也只是直观认识。对角的深入认识和测量角,需要借助量角器。量角器对于小学生而言,算是一个复杂的文具了,直到小学四年级才开始认识和使用。这时,测量对象由线段变为角,文具外形由直变曲,刻度复杂,内外圈颠倒排列,一个中心点,一条起始线,一条终止线,操作要点也多了。再加上抽象的角度单位无关乎长短,只关乎张口之大小,许多孩子必是要好好领悟、练习一阵子,犯过多种花样错误后,才能慢慢熟练。这个测量工具对于大多数孩子来说,绝对不是“自来熟”。

人教四数上册40页

  小学阶段最后一个作图文具是圆规。圆规自然是用来画圆的。小学六年级学习“圆”,必然要使用圆规。圆规的操作算是“极易上手”的,或许是孩子们大了点,动手能力强了,作图经验丰富了,但本质上还是有历史渊源的。据说,人类最早能画出的漂亮图形是直线和圆。

人教六数上册58页

拉直绳子

墨斗弹线

树杈

手指画圆

绳子画圆1

绳子画圆2

圆规

  圆规比树杈“高级”的地方在于,它的两脚之间的叉口是可以固定和缩放的,能够画出大小不一的多种圆,作为文具便于收纳和使用。不过,想必远古的人们对于树杈还是情有独钟、充满激动的。他们不光可以用树杈做弹弓,闲暇时也可以将树杈在地上旋转一圈,画出一个漂亮的“圆”来,就仿佛天上圆圆的月亮或溅落水面漾出的涟漪。然后死盯着地面上匀称、美丽的图案,指手画脚、七嘴八舌,彼此沉浸在充满惊奇、成就感的幸福之中。

山间圆月

涟漪

  或许,现在的孩子们见多识广,对于文具已经鲜有“原始的激动”,总是有点习以为常的淡漠和自以为是的高傲,总是觉得不过如此,没有必要折腾。然而,本文立意恰好相反。

  了解三角尺的秘密,我们主要站在人教版《数学》四年级上册“角的度量”一章的学习阶段。本章就学习内容而言,毫无疑问直接相关的是量角器的认识和使用。本文所以避开量角器而谈三角尺,是因为三角尺在“角的度量”一章将有更深入的认识和更灵活的应用,而这些往往被忽略。用量角器可以灵活地画出任意大小的角,但特殊的角的作图,也可以便捷地交给三角尺完成,尤其当您的文具盒里偶尔没有量角器时,您只能动动脑看能不能依靠三角尺解决。这种“特殊的角”和三角尺的规格直接相关。这种规格可以从三个方面表达:

  ①角度:

  我们姑且将左右两个三角尺称呼为:长三角尺、短三角尺。

  可见,长三角尺的三个角的度数分别是:90度、60度、30度;短三角尺的三个角的度数分别是:90度、45度、45度。这些角度,您也可以利用量角器验证一番。

  两个三角尺一共有4种特殊的角度:30度、45度、60度、90度。这也算是“集合”去重计算中一个小小的应用:3+2-1=4(种),因为“长三角尺的角度集合”有3个元素,“短三角尺的角度集合”有2个元素,二者相互交叉、重复的部分只有90角。

  ②来源:

  长三角尺来源于最漂亮的三角形:等边三角形(也叫正三角形);短三角尺来源于最漂亮的四边形:正方形。长三角尺是正三角形的一半,短三角尺是正方形的一半。或许,大家也应该记住这个结论的“逆命题”:

  两个长三角尺可以拼成一个正三角形;

  两个短三角尺可以拼成一个正方形。

  ③关联:

正三角形和正方形的关联

  正三角形的高等于正方形的对角线。

三角尺的关联

  长三角尺的长直角边等于短三角尺的斜边。

  这些特点便是所有三角尺“相似”的原因。

  (重要程度★★★★★)

  三角尺既可以单独使用,也可以组合起来使用。

  文具的组合使用常常带来神奇的妙用。比如三角尺的组合或者三角尺和直尺的组合,在四年级上册接下来的学习中就可以便捷地完成“过直线外一点作已知直线的平行线”的作图。再比如,占据初中几何大量学习时间的“尺规作图”,讲究的是“无刻度直尺”和“圆规”的组合使用。这种“尺规作图”甚至在数学历史上产生过许多经典的“作图难题”,比如:三等分角、立方倍积、化圆为方、正七边形作图……“数学王子”高斯在19岁时发现了正十七边形尺规作图的可行性后,视为生平得意之作,甚至交待后人要把正十七边形刻在他的墓碑上。

约翰·卡尔·弗里德里希·高斯(1777年4月30日-1855年2月23日)

正十七边形

  然而,这些“后来的学习内容”本文不作更多讨论。我们将专心致志地把关注点放在三角尺的组合使用上,看一看在“画给定度数的角”的作图上,三角尺能够抢占多少量角器的空间。

量角器画角

  单独使用三角尺,可以画出4种特定角度的角:30度、45度、60度、90度。

  组合起来使用(包括加法组合与减法组合),可以更多。依次是:15度、75度、105度、120度、135度、150度、165度、180度,共8种。

  合并两种情况共有12种特定度数的角。这些角的讨论范围是:不超过180度也即平角。因为对于一个大于180度的“优角”作图,总是可以通过“周角-优角=劣角”转换为“劣角”(小于平角的角,锐角、直角、钝角都是劣角)的作图的,只不过我们会将“角的张口小弧线”画在反面。

  下图是三角尺加法组合画角示意图。

三角尺加法组合示意

  从算式分析,一共有6种组合情况:

错误的组合图

二分图

  ①30+45=75(度)

  ②30+90=120(度)

  ③60+45=105(度)

  ④60+90=150(度)

  ⑤90+45=135(度)

  ⑥90+90=180(度)

  随着学习的深入,您会发现:所有的三角形,项多有一个直角;平角的作图,只需使用直尺就可以办到。

  减法组合同上:

  ①45-30=15(度)

  ②90-30=60(度)

  ③60-45=15(度)

  ④90-60=30(度)

  ⑤90-45=45(度)

  ⑥90-90=0(度)

  但是组合来组合去,只得到一个有价值的结果:15度。

15度组合

  这是三角尺组合所能作出的最小度数。至此,所有15度的倍数都能胜任了:

  15×1=15(度)

  15×2=30(度)

  15×3=45(度)

  15×4=60(度)

  15×5=75(度)

  15×6=90(度)

  15×7=105(度)

  15×8=120(度)

  15×9=135(度)

  15×10=150(度)

  15×11=165(度)

  15×12=180(度)

  至于其中用三角尺画165度角的具体组合方法,就交给聪明的您去想一想了……

  再会。

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