【根的分布】原来多项式的根分布图如此美丽！

多图警告！

前面说。

这是美国数学家约翰巴兹(John Baez)在他主页上发表的一篇文章，很快引起了很多人的兴趣。标题中的“根”表示数学中多项式的解。

如果没有忘记高中数学课，就要知道以下两个事实。多项式在复数域中必须有根，每个复数可以相当于复平面上的一个点。

这样，给定了一系列多项式，我们就可以把它们的根画在蒙面上，形成特定的模式。

即使对多项式完全不了解，也不会妨碍您欣赏这些图案的美丽，请放心。(大卫亚设)。

你可能听说过经典的曼德勃罗特套装(Mandelbrot set)。在这里你会很容易看到一些相似之处。(约翰f肯尼迪)。

不同的是人们对这些新模式知之甚少。

下面所有括号里的文字都是我添加的，以便不熟悉蒙面的朋友们能够理解那些点的位置。

模特们可以看到原画。

我的朋友Dan Christensen发现了一幅惊人的画(见上图)。这是由5次以下多项式的根在复平面上的相应点组成的，所有系数都是-4到4之间的整数。

超模军，再放大一点。

图中，二次多项式的根是灰色的，三次多项式的根是青色的，四次多项式的根是红色的，五次多项式的根是黑色的。

横轴是实轴，纵轴是虚轴，中心大孔的中心是原点。

两边稍微小一点的洞的中心是1，I和1的六个虚肌出也各有一个小洞(也就是说，中间那个大洞不是上下对称的小洞)。(阿尔伯特爱因斯坦，美国作家)。

在这里可以看到很多迷人的图案。给人的感觉是，这个整数系数多项式的根正在努力避免整个点和单位根。例外情况是，这整个点和单位是多项式的根。(大卫亚设)。

如果放大图案，可以看到更多的细节。

从这里可以看到，1这个点所在的空白区域周围环绕着美丽的羽毛，EXP(IOI/3)这个点周围有6颗星星(左上角梅花形洞)，还有连接这两点的奇特红色连接，还有其他很多点周围的星形洞。

人们应该开始研究这些东西！

让我们把所有系数在-n到n之间的整数，即D次以下多项式的整根集合称为克里斯滕森集Cd，N。

d和N越大，Cd、N越大，当N变成无穷大时，很明显，这个集合倾向于填满完全蒙面。(托马斯a爱迪生)。

如果固定d，使N无限，我们就能得到所有的玻璃复数。如果让d和N同时无穷大，就可以得到整个代数复数形式。

所以有趣的问题是，如果我们固定N，使D无限，我们能得到什么？

Sam Derbyshire受到上图的鼓舞，决定绘制分辨率更高的多项式根图。

经过几次实验后，他认为他最喜欢的是系数为1的多项式。

他画了24集以下的这种多项式的根共224个，根约为24 224个，即约4亿个高清晰度图片。

他用Mathematica(数学软件)计算所有这些根花了大约4天的时间，得到了大约5G的数据。

然后，他用Java语言创造了这个美妙的图案。

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颜色表示根的密度，从黑色到暗红色到黄色再到白色。上图是低分辨率版本，我们打开原图可以放大一点看到更多细节：

请注意单位根周围的那些小洞，还有圆弧内部的那些羽毛。

为了更清楚地观察，我们把下面这些标记出来的区域放大：

这里是 1 这个点处的那个洞。（即上面最右边那个标记出来的区域。）

中间那条白线是实轴。这是因为有非常多的多项式根都是实数。

然后这里是 i 这个点处的洞。（即最上面那个标记区域。）

这是 exp(iπ/4) 这个点周围。（差不多位于 1 和 i 正中央。）

请注意，根的密度在接近这个点的时候会变大，然后又突然变小。可以看到这些密度所形成的微妙的图案。

但是更漂亮的是当我们来到单位圆内部时的那些羽毛状图案！

这里是实轴附近的样子，这个图的中心位于 4/5 点处。（右边数第二个标记区域。）

在 (4/5)i 点处的样子就截然不同了。（从上数第二个标记区域。）

但是我觉得最漂亮的还要说是 (1/2) exp(i π / 5) 这个点周围的区域。（剩下的那个标记区域。）

这幅图生动的展示出，在我们的数学研究中，规律性是如何从一团混沌中逐渐成型的，就像从薄雾中隐约显现出来一样。

这里有太多东西需要解释了，每幅图片都至少需要一两个定理来描述。

如果模友想看到更多的这类结果，可以参见：

Dan Christensen，整系数多项式的根的图案：

或者直接去看作者John Baez的英文全文，里面还有更丰富的后续内容（

超模君相信模友的英语水平是可以的）：

本文由超级数学建模编辑整理

资料来源于木遥（科学松鼠会）

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