中国剩余定理
有一堆玻璃球,三个冗余2,五个冗余4,七个冗余5。这一堆有多少个玻璃球?
不谈中国剩余定理的一般形式。如果你想探索中国的剩余定理,你必须有一些伟大的思想在里面。我从自己内心的想法去解读中国剩余定理。尽量把定理写的简单一点,让大家都能看懂。
设玻璃球数为n,那么由以下三项之和组成的结果很可能满足题目要求:
N = 2×a×5×7 + 4×b×3×7 + 5×c×3×5
这个数N除以3,第二项和第三项都是3的因子,所以N除以3的余数取决于第一项的余数。同样,n除以5的余数取决于第二项的余数,n除以7的余数取决于第三项的余数。好吧,说吧。
我们可以看到,第一项中有一个因子2,是三个二,剩下三个数为2。要让第一项2×a×5×7除3留2,只需将a×5×7除3留1即可。A×5×7=35a,试a取1,那么35a=35,如果除以3,2不大于1,那么a=1就不行。然后取a=2,得到35a=70,70=3×23+1,即70除以3,大于1,满足要求。所以n的公式中第一项2×a×5×7除以3,然后余数为2。2×a×5×7=2×2×5×7=140 .你可以检查一下数字140除以3,余数是2。140=3×46+2。
同理,我们可以求出b=1,把b×3×7除以5再除以1,这样N的第二项,4×b×3×7,除以5再除以4。这时,第二项等于84。可以查一下,84=5×16+4。
同理得到c=1,所以n的第三项是5×c×3×5=75。所以我终于明白了
N = 140 + 84 + 75 = 299
299必须是三、三、二、五、五、四和七、五。这个没问题。但这不是最小的解决方案。从299中减去3×5×7后,我们得到194,它仍然有三个数字2、五个数字5和七个数字5。这是因为3×5×7可以被3,5,7整除。194减105得89。89不足以减少105,所以89是最小解。
我们最好解释一下这个初始公式:
N = 2×a×5×7 + 4×b×3×7 + 5×c×3×5
修改成这样:
n = 2×a×5×7+4×b×3×7+5×c×3×5-k×3×5×7
最后一项的k为非负整数,所以要尽量大,这样最后的n才是满足要求的最小正整数。
以上的解决方案我们都找到了。但是我们需要推广这个方法。让我们再来看看这个公式:
n = 2×a×5×7+4×b×3×7+5×c×3×5-k×3×5×7
它的结构是把余数作为除最后一项之外的每一项之前的因子。这样只需要分别控制数字A,B,C,就可以让a×5×7,b×3×7,c×3×5除以对应的除数,然后都剩下1。
加上控制因素A、B、C,导致了中国人的另一大发明,“大发展求一技之长”。确定A的过程是将a×5×7的余数除以3 1。
一旦确定了A、B、C三个数,就确定了a×5×7、b×3×7、c×3×5三项。所以这个问题如果玻璃球数量有变化,也就是说剩余数量可能有变化,我们还是可以用同样的方法解决。我们可以给出一个公式,其中只有三个变量:三个余数,只要有余数,就可以计算出玻璃球的最小总数。将上述公式前三项中的余数2、4、5分别用变量p、q、r代替,然后将a=2、b=1、c=1代入,得到如下公式:
N = 70 × P + 21 × Q + 15 × R - 105 × k
比如原题目变成:玻璃球一堆,三个大于1,五个大于3,七个大于4。这一堆有多少个玻璃球?
然后,第一个余数是P=1,第二个余数是Q=3,第三个余数是R=4,所以有
N = 70 × 1 + 21 × 3 + 15 × 4 - 105 × k
= 70 + 63 + 60 - 105 × k
= 193 - 105 × k
193不是最小的,它减去105得到88。数字88是我们需要的:
88 = 3×29 + 1
88 = 5×17 + 3
88 = 7×12 + 4
中国剩余定理用于解决线性同余方程的求解问题。它提供了一种通用的方法,非常有效。最早见于秦九韶《九章算术》卷一,名为《大衍宗书》。现在被称为中国剩余定理。
中国人很久以前就在数学方面取得了巨大的成就。请自行查阅相关资料。
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