1.11111E+11专题之缺8数是什么意思 解析为什么自然数中没有8原因

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缺少8是什么意思？自然水中没有8是怎么回事？看了下面的解释后，小编说他真的活到老学到老了。一起看吧！

8不足是什么意思？

自然数12345679没有8，因此被称为“八数短缺”，它具有非常奇妙的性质。

缺8数在乘1至81中的9的倍数可以得到“清一色”，例如：

清一色

缺8数在乘1至81中的9的倍数可以得到“清一色”，例如：

12345679×9=111111111

12345679×18=222222222

12345679×27=333333333

12345679×36=444444444

12345679×45=555555555

12345679×54=666666666

12345679×63=777777777

12345679×72=888888888

12345679×81=999999999

三位一体

缺8数乘以3的倍数但不是9的倍数的数(12起)，可以得到“三位一体”，例如：

12345679×12=148148148

12345679×15=185185185

12345679×21=259259259

12345679×30=370370370

12345679×33=407407407

12345679×42=518518518

12345679×48=592592592

12345679×51=629629629

12345679×57=703703703

12345679×78=962962962

另一个有趣的结果：

12345679×8=98765432

轮流休息

当乘数不是9或3的倍数时，此时虽然没有清一色或三位一体的现象，但仍可以看到一种奇异性质：乘积的各位数字均无雷同，缺少1个数字，而且存在着明确的规律。另外，在乘积中缺3、缺6、缺9的情况肯定不存在。

先看一位数的情形：

12345679×1=12345679(缺0和8)

12345679×2=24691358(缺0和7)

12345679×4=49382716(缺0和5)

12345679×5=61728395(缺0和4)

12345679×7=86419753(缺0和2)

12345679×8=98765432(缺0和1)

上面的乘积中，都不缺数字3，6，9，而都缺0。缺的另一个数字是8,7,5,4,2,1，且从大到小依次出现。

让我们看一下乘数在区间[10，17]的情况(其中12和15因是3的倍数，予以排除)：

而在乘数与缺的数中也有规律可循，即缺数与乘数的个、十位数字相加的和等于9。如：

12345679×10=123456790(缺8) 1+0+8=9

12345679×11=135802469(缺7) 1+1+7=9

12345679×13=160493827(缺5) 1+3+5=9

12345679×14=172839506(缺4) 1+4+4=9

12345679×16=197530864(缺2) 1+6+2=9

12345679×17=209876543(缺1) 1+7+1=9

乘数在[19，26]及其他区间(区间长度等于7)的情况与此完全类似。以上乘积中仍不缺3，6，9，但再也不缺0了，而缺少的另一个数与前面的类似——按大小的次序各出现一次。乘积中缺什么数，就像工厂或商店中职工“轮休”，人人有份，既不多也不少，实在有趣。

乘数在[19～26]及其他区间（区间长度等于7）的情况与此完全类似。

12345679×19=234567901(缺8)

12345679×20=246913580(缺7)

12345679×22=271604938(缺5)

12345679×23=283950617(缺4)

12345679×25=308641975(缺2)

12345679×26=320987654(缺1)

一以贯之

当乘数超过81时，乘积将至少是十位数，但上述的各种现象依然存在，真是“吾道一以贯之”。例如：

乘数为9的倍数

12345679×243=2999999997

只要把乘积中最左边的一个数2加到最右边的7上，仍呈现“清一色”。

乘数为3的倍数，但不是9的倍数

12345679×84=1037037036

只要把乘积中最左边的一个数1加到最右边的6上，又出现“三位一体”。

乘数为3K+1或3K+2型

12345679×98=1209876542

表面上看来，乘积中出现相同的2，但只要把乘积中最左边的数1加到最右边的2上去之后，所得数为209876543，是“缺1”数，仍是轮流“休息”。

走马灯

当缺8数乘以19时，其乘数将是234567901，像走马灯一样，原先居第二位的数2却成了开路先锋。例如：

12345679×19=234567901

12345679×28=345679012

12345679×37=456790123

12345679×46=567901234

深入的研究显示，当乘数为一个公差等于9的算术级数时，出现“走马灯”的现象。例如：

12345679×8=098765432

12345679×17=209876543

12345679×26=320987654

12345679×35=432098765

现在，我们又把乘数依次换为10，19，28，37，46，55，64，73(它们组成公差为9的等差数列)：

12345679×10=123456790

12345679×55=679012345

12345679×64=790123456

12345679×73=901234567

以上乘积全是“缺8数”!数字1，2，3，4，5，6，7，9像走马灯似的，依次轮流出现在各个数位上。

携手同行

回文缺8数的精细结构引起研究者的浓厚兴趣，人们偶然注意到：

12345679×4=49382716

12345679×5=61728395

前一式的数颠倒过来读，正好就是后一式的积数。(虽有微小的差异，即5代以4，而根据“轮休学说”，这正是题中应有之义)

这样的“回文结对，携手并进”现象，对(13、14)(22、23)(31、32)(40、41)等各对乘数(每相邻两对乘数的对应公差均等于9)也应如此。例如：

12345679×13=160493827

12345679×14=172839506

12345679×22=271604938

12345679×23=283950617

12345679×67=827160493

12345679×68=839506172

前一式的数颠倒过来读，正好是后一式的积数。(后一式的2移到后面，并5代以4)

遗传因子

“缺8数”还能“生儿育女”，这些后裔秉承其“遗传因子”，完全承袭上面的这些特征。

所以这个庞大家族的成员几乎都同其始祖12345679具有同样的本领。

例如，506172839是“缺8数”与41的乘积，所以它是一个衍生物。

我们看到，506172839×3=1518518517。

将乘积中最左边的数1加到最右边的7上之后，得到8。如前所述，“三位一体”模式又来到我们面前。

回文现象

继续做乘法：

12345679×9=111111111

12345679×99=1222222221

12345679×999=12333333321

12345679×9999=123444444321

12345679×99999=1234555554321

12345679×999999=12345666654321

12345679×9999999=123456777654321

12345679×99999999=1234567887654321

12345679×999999999=12345678987654321

奇迹出现了!等号右边全是回文数(从左读到右或从右读到左，同一个数)。

而且，这些回文数全是“阶梯式”上升和下降，神奇、优美、有趣!

因为12345679=333667×37，所以“缺8数”是一个合数。

“缺8数”和它的两个因数333667、37，这三个数之间有一种奇特的关系。

一个因数333667的首尾两个数3和7、就组成了另一个因数37;

而“缺8数”本身数字之和1+2+3+4+5+6+7+9也等于37。

可见“缺8数”与37天生结了缘。

更令人惊奇的是，把1/81化成小数，这个小数也是“缺8数”：

1/81=0.012345679012345679012345679……

为什么别的数字都不缺，唯独缺少8呢？

原来1/81=1/9×1/9=0.1111…×0.11111….

这里的0.1111…是无穷小数，在小数点后面有无穷多个1。

“缺8数”的奇妙性质，集中体现在大量地出现数学循环的现象上，而且这些循环非常有规律，令人惊讶。

“缺8数”的奇特性质，早就引起了人们的浓厚兴趣。而它其中还有多少奥秘，人们一定会把它全部揭开。

“缺8数”太奇妙了，让我这个对数学没啥兴趣的人也忍不住要大加赞美啊!

追本求源

缺8数12345679实际上与循环小数是一根藤上的瓜，因为：

1/81=0.012345679012345679012345679……，缺8数和1/81的循环节有关。

在以上小数中，为什么别的数码都不缺，而唯独缺少8呢?

我们看到，1/81=1/9×1/9，把1/9化成循环小数，其循环节只有一位，即1/9=0.111111111……

1/9×1/9，即无穷个1的自乘。不妨先从有限个1的平方来看：

很明显，11的平方=121，111的平方=12321，……，直到111111111的平方=12345678987654321。

但无穷个1的平方，长长的队伍看不到尽头，怎么办呢?利用数学归纳法，不难证明，在所有的层次，8都被一一跳过。

那么，缺8数乘以9的倍数得到“清一色”就很好理解了，因为：

1/81×9=1/9=0.111111111……

缺8数乘以3的倍数得到“三位一体”也不难理解，因为：

1/81×3=1/27=0.037037037……，一开始就出现了三位的循环节。

缺8数隐藏在循环小数里

缺8数乘以公差为9的等差数列时相当于在原有基础上每位数加1，自然就出现“走马灯”了。

循环小数与循环群、周期现象的研究方兴未艾，缺8数已引起人们的浓厚兴趣与密切关注。由于计算机科学的蓬勃发展，人们越来越不满足于泛泛的几条性质，而更着眼于探索其精微的结构。

简单的说，缺8数是这么来的：

0.1

0.02

0.003

0.0004

0.00005

0.000006

0.0000007

0.00000008

0.000000009

0.0000000010

0.00000000011

+……(依此类推，然后全部进行加法运算)

——————————

0.1234567801234……

可以看见，9的消失是因为后面的10把1向前挪了1位。

其他类型

也许有人以为缺八数是10进制下的特有情况，但事实是，16进制下也有类似的数字出现。

10进制中缺8数关于乘数3的性质是由关于乘数9的性质衍生而来的，在8进制中没有类似的性质。

16进制中缺e数为：123456789abcdf(16)

123456789abcdf(16)×f(16)=111111111111111(16)

如前所述，缺8数的出现与循环小数有密切的联系。

在任何一种进制中，1除以最大的个位数，得到的都是0.1111...无限循环的小数，缺8数的全部性质理论上应该都能由此推出。

可以认为，缺8数的性质是由进制的规则决定的，是进制性质的反应。

神奇的数字

1×8 + 1= 9

12×8 + 2= 98

123×8 + 3= 987

1234×8 + 4= 9876

12345×8 + 5= 98765

123456×8 + 6= 987654

1234567×8 + 7= 9876543

12345678×8 + 8= 98765432

123456789×8 + 9= 987654321

1×9 + 2= 11

12×9 + 3= 111

123×9 + 4= 1111

1234×9 + 5= 11111

12345×9 + 6= 111111

123456×9 + 7= 1111111

1234567×9 + 8= 11111111

12345678×9 + 9= 111111111

123456789×9 +10= 1111111111

9×9 + 7= 88

98×9 + 6= 888

987×9 + 5= 8888

9876×9 + 4= 88888

98765×9 + 3= 888888

987654×9 + 2= 8888888

9876543×9 + 1= 88888888

98765432×9 + 0= 888888888

1×1= 1

11×11= 121

111×111= 12321

1111×1111= 1234321

11111×11111= 123454321

111111×111111= 12345654321

1111111×1111111= 1234567654321

11111111×11111111= 123456787654321

111111111×111111111=12345678987654321