【旋转体表面积为什么是ds】「体积、弧长和表面积」图解普林斯顿微积分读本 20

第二十九章体积、弧长和表面积

本章内容如下：

寻找磁盘方法和壳方法卷；

求更一般的立体体积。

求光滑曲线的弧长和参数的粒子速度。

找到整个旋转的表面积。

所有29.1次卷(Volumes of Solids of Revolution)

要求出黎曼和下图中半圆的面积，需要用小矩形条划分，再加上这个矩形的面积，得到半圆的面积大致。

摘要该解决方案区域的模式：从X轴上的点X取宽度dx单位、高度Y单位的小条来计算面积，然后将积分号放在前面，得到所需的总面积。这种方法不仅可以用来求面积，还可以用来求体积。特别是，让我们看一下两种不同的方法3360磁盘方法和壳方法以及解释旋转是如何工作的。

29.1.1磁盘方法(The disc method)

现在，通过绕x轴旋转上一部分的半圆来获得球。

宽度dx单位，除以半径y单位的薄磁盘。使用的磁盘越薄，近似值越好。极限时，磁盘的最大厚度为0，则几乎完美的：整个磁盘的总体积将成为球的体积。这种方法称为磁盘方法，也称为切片。

29.1.2壳方法(The shell method)

现在，如果看到半圆形区域围绕y轴旋转，则可以得到与圆环顶部类似的旋转体：

我们再用小杆逼近半圆，但这次要绕Y轴旋转。例如，现在用两根小杆旋转，就可以得到柱壳。

可以用一系列的外壳近似这个甜甜圈的一半。每个外壳的最大厚度dx越小，近似越好。

每个单独的外壳接近一个周长为2、高度为y的盒子。观察下一个动画扩展到长方体的过程：

现在要做的是

是从x=2 到 x=4 进行积分求这些长方体体积之和就可以求出旋转体体积.

29.1.3 总结和变式

注意, 应用圆盘法时, 小条绕平行于它们短边的轴旋转; 而应用壳法时, 小条绕垂直于短边的轴旋转.

29.2 一般立体体积

其实大部分立体并不能通过绕旋转轴形成, 但可以借鉴切片法的思想, 将所有小薄片的体积加起来, 并求薄边的厚度趋于 0 的极限. 大致是这样的思路:(1) 选定一个轴;(2) 求轴上点 x 处的切片横截面面积, 称该面积为 A(x) 平方单位;(3) 若 V 为立体的体积(立方单位), 在 x 的取值范围 [a,b] 有

29.3 弧长

如何计算曲线的弧长呢? 用线段 AB 的长度来近似 AB 之间的曲线长度.

并且 AB 之间越接近, 近似程度就越好. AB 的长度是 √dx2+dy2dx2+dy2. 可以观察下面动画:

现在积分在 [a,b] 区间连加和求极限, 会得到:

参数形式

极坐标情形

29.4 旋转体的表面积

现在看看如何求由曲线绕某轴旋转所得表面的表面积.

割线长度为 √(dx)^2+(dy)^2 . 随着对旋转体的不断切分, 圆台可以近似视为圆柱体, 并且逼近旋转体, 观察下图动画:

所以 对于每一个薄片可以视为得到了一个半径为 y 、宽度为的圆柱形环, 则它有表面积 2πy√(dx)^2+(dy)^2 . 现在将这些圆柱形环的表面积相加起来, 并令环的宽度趋于 0 , 因此得到绕 x 轴旋转的公式:

参数形式的求表面积公式. 若 x 和y 是参数t 的函数, 其中t 的取值范围为 t0 到 t1, 则可推出下面的公式：

(完)

「予人玫瑰, 手留余香」

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