费曼feynman 理查德·费曼（Richard Feynman）：关于数学与物理的区别

“我想就数学和物理的关系发表一些看法。”

1965年，理查德·费曼在康奈尔大学举办了一系列关于数学和物理之间关系的Courier讲座，其中“伟大的解释者”谈到了他发现的数学和物理之间的主要差异。他的思想总结如下。

认识论的差异

“数学家们准备了可以使用的抽象推理，即使他们不知道它是用来做什么的。”

首先，费曼解决了研究数学的人，特别是精选的数学家在认识论分析水平上的差异:

数学家仅处理推理的结构，他们并不真正在乎他们在说什么。他们甚至不需要知道自己在说什么，也不必知道自己说的是真的。

接下来，他将描述形式系统的可计算性和人工机器推断人类无法理解的定理的理论可能性:

现在，我解释说，如果您说公理说“某某事物如此”和“某某事物如此”，那该怎么办？这样就可以在不知道“某某某物”一词含义的情况下进行逻辑运算。也就是说，如果有关公理的陈述是正确的，即经过精心制定和完善，那么进行推理的人就不必具有对这些词的含义的任何了解。他将能够用相同的语言得出新的结论。如果我在其中一个公理中使用三角形一词，结论中可能会有一些关于三角形的陈述。而做推理的人甚至可能不知道三角形是什么！但是，然后他可以读回自己的东西，然后说：“哦，一个三角形，那只是一个三边形的东西，等等”，所以我知道了这个新事实。换句话说，数学家准备的抽象推理就是准备“被使用”。

这与物理分析的认识论水平相反:

物理学家对所有短语都有意义，而且有一个非常重要的事情是，许多学习物理学但不来自数学的人都不懂：物理学不是数学，数学不是物理学。一个可以帮助另一个。但是，您必须对单词与现实世界之间的联系有所了解。如有必要，最后将您想出的内容翻译成英文，再放入要进行实验的铜块和玻璃块的世界中，以找出后果是否正确。这是一个根本不是数学问题的问题。我已经提到了唯一的其他关系. 当然，很明显，已开发的数学推理是如何发挥巨大作用并在物理学中得到使用的。另一方面，有时物理学家的推理对数学家很有用。

费曼没有进一步的解释就停了下来，但一个相关的例子是爱德华·威滕在正能量定理方面的工作，为此他获得了菲尔兹奖。在关于爱德华·威滕著作的论文中，数学家迈克尔·阿蒂亚描述了它对数学的重要性:

他用数学形式解释物理思想的能力非常独特。一次又一次，通过物理洞见的出色应用，他产生了新的深刻的数学定理，让数学界大吃一惊。e对当代数学有着深远的影响。在他的手中，物理学再次为数学提供了丰富的灵感和见解。“——迈克尔·哈迪埃。”

适用范围的差异

“数学家们喜欢尽可能地使他们的推理一般化”

费曼继续幽默地讨论数学的适用性，与大多数物理学家的兴趣形成鲜明对比:

如果您说“我有一个三维空间”，然后问数学家有关定理，然后他们说“现在看，如果您有n个维的空间”，那么这里就是这些定理。”我只想要三维的情况……”“好吧，然后代换n = 3！”。事实证明，它们具有的许多复杂定理要简单得多，因为它们恰好是特殊情况。物理学家总是他对特殊情况感兴趣，对一般情况不感兴趣，他在谈论某些事情，他不是在抽象地谈论任何事情，他知道他在说什么，他想讨论新的引力定律，他不想要武断的力量因此，要进行一定程度的简化，因为数学家已经为各种各样的问题准备了这些东西，这是非常有用的，后来总会发现，可怜的物理学家必须回来并且说“对不起，您想告诉我这四个维度。”直觉与严谨

“可怜的数学家没有任何指导，但论证中的精确数学是严谨而谨慎的。”

费曼接着谈到了这两个主题的发现过程，强调物理学家应用了他们的主题，而不是在某种本质上纯粹的抽象优势:

当您知道您在说什么，这些东西是力量，这些东西是质量，这是惯性等等时，您就可以使用很多常识性的，关于凭借经验的感觉世界。您已经看过各种各样的东西，或多或少地知道了现象的表现方式。可怜的数学家他将其转换为方程式，符号对他没有任何意义，他没有指导性，但精确的数学严谨性和关心论点。鉴于物理学家或多或少地知道答案的去向，他们会走出来并进行一些猜测，然后很快就进行下去。精确度很高的数学上的严格性在物理学中不是很有用，现代态度也不是。在数学中看公理。现在，数学家可以做他们想做的事，不应批评他们，因为他们不是物理学的奴隶。不必要仅仅因为这对您有用，他们就必须这样做。他们可以做自己想做的事，这是他们自己的工作，如果您想要其他东西，那么您可以自己解决。

费曼在这里认为，由于物理学关注自然现象，人类在这一领域有更好的直觉倾向。这与描述一些数学定理的过程相反，包括小约翰·福布斯·纳什对非线性偏微分方程的发现:

20世纪50年代的数学家知道使用计算机求解常微分方程(ODE)的相对琐碎的例程。然而，没有求解非线性偏微分方程的方法，例如在喷气发动机的湍流运动中发现的那些方法。

然而，到1958年春天，纳什已经能够用自己的发明方法获得基本的存在性、唯一性和连续性定理。令人惊讶的是，这些方法涉及到“将非线性方程转化为线性方程，然后用非线性手段对其进行攻击”——彼得·拉克斯(Peter Lax)密切关注着自己的进步，这是一只前所未有的“天才之笔”。关于这项技术，隆德大学的数学教授、偏微分方程专家拉斯金后来也类似地宣称:“要做到这一点，你必须是个天才。”。

论模型的实用性

费曼接着讨论了模型在物理学中的有用性，以及它们在新发现过程中的无用性:

接下来的问题是，我们是否应该在尝试制定新定律时进行猜测，是否应该使用凭借经验的感觉和哲学原理，即“我不喜欢最低限度的原则，我愿意例如最低限度的控制”或“我不喜欢远距离的动作，或者我喜欢远距离的动作”。问题是模型在多大程度上有所帮助。这是一件非常有趣的事情。模型经常会提供帮助，物理老师经常会尝试讲授如何使用这些模型，并对事情的发展有很好的物理感觉。但是，最伟大的发现总会从模型中抽象出来。它从来没有做过任何事情。麦克斯韦的电动力学发现首先是在惰轮和太空中的其他所有物体上，使用了许多假想的轮子完成的。如果您摆脱了所有的闲人和太空中的所有其他东西，那事就好了。狄拉克仅通过猜测方程即可发现相对论的量子力学定律。猜测方程式的方法似乎是猜测新定律的一种非常有效的方法。这再次表明，数学是表达自然的一种深层方式，而试图以哲学原理或在经验的机械感觉中表达自然并不是一种有效的方式。论数学物理的适用性

奇怪的是，费曼继续预言，在未来的某个时刻，世界的本质不会用数学语言来表达。相反，会有其他方式来表达自然是如何运作的，需要的计算更少:

我必须说，我经常做出一个假设，即物理学最终将不需要数学陈述。机械最终将被揭示。总是令我感到困扰的是，尽管有这些本地业务，但根据定律以及我们今天对它们的理解，无论一个空间区域多么微小，时间区域多么微小，发生的一切都需要计算。进行无数次逻辑运算以找出答案。现在，在这么小的空间中如何进行所有操作？为什么要花无穷的逻辑来弄清楚一小段时空将要做什么？因此，我经常做一个假设，即定律最终将变得像棋盘一样简单，并且所有复杂性都来自规模，但是，这与其他人做出的其他猜测具有相同的性质。 上面写着“我喜欢”，“你不喜欢”。对这些事情过于偏见是不好的。关于数学的需要

接下来，费曼引用了詹姆斯·让爵士的话，并在讨论物理数学时提到了小说家和物理化学家C. P. Show的名著《两种文化》:

总而言之，我想用詹姆士·简斯爵士的话说：“这位伟大的建筑师似乎是一位数学家，而对于那些不懂数学的人来说，要想真正地感受到一种真实的感觉是非常困难的。感受大自然的美。” P. Snow谈到了两种文化。我真的认为这两种文化是有过和没有过足够了解数学的经验，来一次欣赏自然的人，这很糟糕，必须要数学并且对某些人来说数学很难。当其中一位国王试图向欧几里得学习几何学时，他抱怨说这很困难，欧几里德说：“没有通往几何学的皇家之路”。传播论

“也许地平线是有限的，这样这些人就可以想象，感兴趣的宇宙的中心是人。”

最后，费曼谈到物理学家需要掌握数学才能发现关于自然的新发现，并指出数学对于我们目前理解世界是如何工作的非常重要:

作为观察这些事物的人们，我们不能像物理学家那样将其转换为我们拥有的任何其他语言。如果您想讨论自然，了解自然，欣赏自然，则有必要找出她所使用的语言。她仅以一种形式提供信息。我们并没有那么谦虚，以至于“要求她更改”，然后再进行任何关注。在我看来，您可以提出的所有理智论点很少会充耳不闻。世界上所有的知识论据都不会说服“其他文化”的论点。那些试图通过定性地告诉你这件事来教你的哲学家。我，正在尝试描述它，但是因为不可能，所以无法传播。我们正在充耳不闻地交谈，也许是因为视野有限，使这些人可以想象感兴趣的宇宙的中心是人。

这篇文章是《康托尔的天堂》每周出版的一系列数学相关故事的一部分。感谢阅读！

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(本文翻译自理查德·费曼的文章《数学和物理的区别》。参考:https://medium . com/cantors-paradise/Richard-Feynman-on-differences-on-of-theory-physics-c 0847 E8 a3 d 75)