启发式搜索算法

一、何谓启发式搜索

启发式搜索算法有点像广度优先搜索，不同的是，它会优先顺着有启发性和具有特定信息的节点搜索下去，这些节点可能是到达目标的最好路径。

我们称这个过程为最优（best-first）或启发式搜索。

下面是其基本思想：

假定有一个启发式(评估)函数ˆf ，可以帮助确定下一个要扩展的最优节点，我们采用一个约定，即ˆf的值小表示找到了好的节点。这个函数基于指定问题域的信息，它是状态描述的一个实数值函数。

下一个要扩展的节点n是ˆf(n)值最小的节点(假定节点扩展产生一个节点的所有后继)。

当下一个要扩展的节点是目标节点时过程终止。

假定有一个启发式(评估)函数ˆf ，可以帮助确定下一个要扩展的最优节点，我们采用一个约定，即ˆf的值小表示找到了好的节点。这个函数基于指定问题域的信息，它是状态描述的一个实数值函数。

下一个要扩展的节点n是ˆf(n)值最小的节点(假定节点扩展产生一个节点的所有后继)。

当下一个要扩展的节点是目标节点时过程终止。

我们常常可以为最优搜索指定好的评估函数。

如在8数码问题中，可以用不正确位置的数字个数作为状态描述好坏的一个度量：

f(n) = 位置不正确的数字个数(和目标相比)

在搜索过程中采用这个启发式函数将产生图9 - 1所示的图，每个节点的数值是该节点的值。

上述例子表明，在搜索过程中我们需要偏向有利于回溯到早期路径的搜索(为了避免由于过分的优化试探而陷入“花园小径”)。

因此我们加了一个“深度因子”给ˆf: ˆf(n)= gˆ(n)+ hˆ(n) ，gˆ(n)是对图中节点n的“深度”估计(即从开始节点到n的最短路径长度)，hˆ(n)是对节点n的启发或评估。

像前面一样，如果gˆ(n)= 搜索图中节点n的深度，hˆ(n)=不正确位置的数字个数(和目标相比)， 我们可以得到图9-2。

在这个图中，把gˆ(n)和hˆ(n)的值写在每个节点的旁边，在这种情况下，可以看到搜索相当直接地朝着目标进行(除了用圆圈标注的节点外)。

这些例子提出了两个重要的问题。

我们如何为最优搜索决定评估函数？

最优搜索的特性是什么？它能找到到达目标节点的好路径吗？

我们如何为最优搜索决定评估函数？

最优搜索的特性是什么？它能找到到达目标节点的好路径吗？

二、一个通用的图搜索算法

为了更准确地解释启发式搜索过程，这里提出一个通用的图搜索算法，它允许各种用户—偏爱启发式的或盲目的，进行定制。我把这个算法叫做图搜索（GRAPHSEARCH）。

下面是（第一个版本）它的定义。

GRAPHSEACH：

生成一个仅包含开始节点n0的搜索树Tr。把n0放在一个称为OPEN的有序列表中。

生成一个初始值为空的列表CLOSED。

如果OPEN为空，则失败并退出。

选出OPEN中的第一个节点，并将它从OPEN中移出，放入CLOSED中。称该节点为n。

如果n是目标节点，顺着Tr中的弧从n回溯到n0找到一条路径，获得解决方案，则成功退出（弧在第6步产生）。

扩展节点n，生成n的后继节点集M。通过在Tr中建立从n到M中每个成员的弧生成n的后继。

按照任意的模式或启发式方式对列表OPEN重新排序。

返回步骤3 。

生成一个仅包含开始节点n0的搜索树Tr。把n0放在一个称为OPEN的有序列表中。

生成一个初始值为空的列表CLOSED。

如果OPEN为空，则失败并退出。

选出OPEN中的第一个节点，并将它从OPEN中移出，放入CLOSED中。称该节点为n。

如果n是目标节点，顺着Tr中的弧从n回溯到n0找到一条路径，获得解决方案，则成功退出（弧在第6步产生）。

扩展节点n，生成n的后继节点集M。通过在Tr中建立从n到M中每个成员的弧生成n的后继。

按照任意的模式或启发式方式对列表OPEN重新排序。

返回步骤3 。

这个算法可用来执行最优搜索、广度优先搜索或深度优先搜索。在广度优先搜索中，新节点只要放在OPEN的尾部即可（先进先出， FIFO），节点不用重排。在深度优先搜索中，新节点放在OPEN的开始（后进先出,LIFO）。

在最优（也叫启发式）搜索中，按照节点的启发式方式来重排OPEN。

三、略谈A*搜索算法

用最优搜索算法详细说明GRAPHSEARCH。最优搜索算法根据函数的增加值，(在上述第7步)重排OPEN中的节点，如8数码问题。把GRAPHSEACH的这种算法称为算法A*。

下面将会看到，定义使A*执行广度搜索或相同代价搜索的函数是可行的。为了确定要用的函数族，必须先介绍一些其他符号。

设g(n) = 从开始节点n0到节点n的一个最小代价路径的代价。

设h(n) =节点n和目标节点（遍及所有可能的目标节点以及从n到它们的所有可能路径）之间的最小代价路径的实际代价。

那么f(n) = g(n) + h(n)就是从n0到目标节点并且经过节点n的最小代价路径的代价。

注意f(n0)= h(n0)是从n0到目标节点的一个（不受限的）最小代价路径的代价。

对每个节点n，设gˆ(n)（深度因子）是由A*发现的到节点n的最小代价路径的代价，hˆ(n)（启发因子）是h(n)的某个估计。

在算法A*中，我们用ˆf(n)= gˆ(n)+ hˆ(n)。

注意，如果算法A*中的恒等于0，就成为相同代价搜索。这些定义示例在图3中。

算法A*：

生成一个只包含开始节点n0的搜索图G，把n0放在一个叫OPEN的列表上。

生成一个列表CLOSED，它的初始值为空。

如果OPEN为空，则失败退出。

选择OPEN上的第一个节点，把它从OPEN中移入CLOSED，称该节点为n。

如果n是目标节点，顺着G中，从n到n0的指针找到一条路径，获得解决方案，成功退出（该指针定义了一个搜索树，在第7步建立）。

扩展节点n，生成其后继节点集M，在G中，n的祖先不能在M中。在G中安置M的成员，使它们成为n的后继。

从M的每一个不在G中的成员建立一个指向n的指针（例如，既不在OPEN中，也不在CLOSED中）。把M的这些成员加到OPEN中。对的每一个已在OPEN 中或CLOSED中的成员m，如果到目前为止找到的到达m的最好路径通过n，就把它的指针指向n。对已在CLOSE中的M的每一个成员，重定向它在G中的每一个后继，以使它们顺着到目前为止发现的最好路径指向它们的祖先。

按递增值，重排OPEN（相同最小值可根据搜索树中的最深节点来解决）。

返回第3步。

生成一个只包含开始节点n0的搜索图G，把n0放在一个叫OPEN的列表上。

生成一个列表CLOSED，它的初始值为空。

如果OPEN为空，则失败退出。

选择OPEN上的第一个节点，把它从OPEN中移入CLOSED，称该节点为n。

如果n是目标节点，顺着G中，从n到n0的指针找到一条路径，获得解决方案，成功退出（该指针定义了一个搜索树，在第7步建立）。

扩展节点n，生成其后继节点集M，在G中，n的祖先不能在M中。在G中安置M的成员，使它们成为n的后继。

从M的每一个不在G中的成员建立一个指向n的指针（例如，既不在OPEN中，也不在CLOSED中）。把M的这些成员加到OPEN中。对的每一个已在OPEN 中或CLOSED中的成员m，如果到目前为止找到的到达m的最好路径通过n，就把它的指针指向n。对已在CLOSE中的M的每一个成员，重定向它在G中的每一个后继，以使它们顺着到目前为止发现的最好路径指向它们的祖先。

按递增值，重排OPEN（相同最小值可根据搜索树中的最深节点来解决）。

返回第3步。

在第7步中，如果搜索过程发现一条路径到达一个节点的代价比现存的路径代价低，我们就要重定向指向该节点的指针。已经在CLOSED中的节点子孙的重定向保存了后面的搜索结果，但是可能需要指数级的计算代价。

因此，第7步常常不会实现。随着搜索的向前推进，其中有些指针最终将会被重定向。

四、启发式算法相关问题

4.1、启发式算法与最短路径问题

启发式通常用于资讯充份的搜寻算法，例如最好优先贪婪算

法与A*。

最好优先贪婪算法会为启发式函数选择最低代价的节点；

A*则会为g(n) + h(n)选择最低代价的节点，此g(n)是从起始节点到目前节点的路径的确实代价。

如果h(n)是可接受的（admissible）意即h(n)未曾付出超过达到目标的代价，则A*一定会找出最佳解。

最能感受到启发式算法好处的经典问题是n-puzzle。此问题在计算错误的拼图图形，与计算任两块拼图的曼哈顿距离的总和以及它距离目的有多远时，使用了本算法。注意，上述两条件都必须在可接受的范围内。

曼哈顿距离是一个简单版本的n-puzzle问题，因为我们假设可以独立移动一个方块到我们想要的位置，而暂不考虑会移到其他方块的问题。

给我们一群合理的启发式函式h1(n),h2(n),...,hi(n)，而函式h(n) = max{h1(n),h2(n),...,hi(n)}则是个可预测这些函式的启发式函式。

一个在1993年由A.E. Prieditis写出的程式ABSOLVER就运用了这些技术，这程式可以自动为问题产生启发式算法。ABSOLVER为8-puzzle产生的启发式算法优于任何先前存在的！而且它也发现了第一个有用的解魔术方块的启发式程式。

4.2、启发式算法对运算效能的影响

任何的搜寻问题中，每个节点都有b个选择以及到达目标的深度d，一个毫无技巧的算法通常都要搜寻bd个节点才能找到答案。

启发式算法借由使用某种切割机制降低了分叉率(branching factor)以改进搜寻效率，由b降到较低的b'。分叉率可以用来定义启发式算法的偏序关系，例如：若在一个n节点的搜寻树上，h1(n)的分叉率较h2(n)低，则 h1(n) < h2(n)。

启发式为每个要解决特定问题的搜寻树的每个节点提供了较低的分叉率，因此它们拥有较佳效率的计算能力。