结构分析法 结构分析方法的江湖

目前，结构力学分析的江湖几乎都是以有限元法为主。但实际上，有限元法只是用数值方法求解微分方程的众多方法之一。本文我将介绍几位目前能参与华山论剑结构分析的顶尖专家。

一、武术领袖——有限元法

在如今的江湖中，各行各业的英雄一起崛起，非常热闹，从通用分析软件中比较知名的ABAQUS、ANSYS、SAP2000，到结构工程师的老朋友PKPM、YJK、Midas。追根溯源，有限元法是他们共同的基础。在结构设计领域，据我所知，有限元方法统治了江湖，指挥了全世界。简直就像武林盟主。那么首领的来历是什么，看下面分解。

领导者的人生经历——有限元方法的发展

有限元法的思想最早出现在1943年。Courant利用一系列三角形区域定义的分段连续函数，结合最小势能原理，解决了圣维南的挠率问题。由于当时计算工具的限制，这种方法在接下来的时间里没有得到更好的发展。直到1960年，随着计算机的广泛应用和发展，目前意义上的有限元方法才真正发展起来。

现代有限元法的第一次成功尝试出现在1956年，由Tuner和Clough在分析飞机结构时提出。他们使用有限元法中的三角形单元来获得平面应力问题的正确解。1960年，克拉夫将其推广到平面弹性力学，首次提出了“有限元法”的名称。1965年，O. C. Zienkiewicz和Y. K. Cheung发现，所有具有变分形式的场问题，即所有满足变分原理的场问题，都可以用与固体力学有限元法相同的步骤来求解。

但不是所有的问题都能找到对应的变分原理，在找不到变分原理的情况下，必须用有限元方法去寻找能给出有限元格式的方法。1969年，奥登从所谓的能量平衡法出发，得到了热弹性问题的有限元分析方程。1969年，B. A. Szabo和G. C. Lee将加权残数法，特别是Galerkin法引入到有限元法中，导出了求解非结构问题的标准有限元过程。通过在有限元方法中引入加权残值法，大大扩展了有限元方法的应用范围。此外，有限元法的同一个门还有骨架的两大奇迹。在一般的有限元方法中，形状函数是一阶线性的，对于复杂的几何边界条件来说比较困难，所以有等参元法和威尔逊非协调元，它们是形状函数中带有二次项的播放器。

20世纪70年代，有限元法的发展达到顶峰，其基本理论和方法日趋成熟。

领导者的运动——有限元法的基本步骤

领袖有限元法在对付对手时总是有固定的套路。

解域被离散成一系列元素。就是现在各种软件里划分网格的过程。

下一个诀窍是以空的间隔来猜测事物，即根据每个单元中每个节点的值，用单元插值函数来拟合这个单元上的未知场函数。就我们常见的力学求解问题而言，通常是先求解整个结构的位移函数。

然后根据力学原理，得到各单元的刚度矩阵。然后，将单元刚度矩阵压缩成总刚度矩阵，在边界条件下得到数值解。

在一般结构力学问题中，这些措施基本上是无懈可击的。

领导的罩门——有限元法的缺陷

虽然教主统一了江湖，但是其他高手并没有被消灭，说明教主武功有弱点。

首先是元素的划分。虽然很多有限元程序都有自动划分单元的功能，但仍然无法保证网格划分的合理性。由于网格划分不合理，计算精度差，甚至无法完全避免不收敛。

其次，现有的有限元方法大多采用一阶线性形式函数，在拟合复杂问题时效率不高，而等参元法拟合的二次形式函数不完整，威尔逊非协调元因不满足变形协调条件而不能保证收敛性。

此外，当有限元法涉及大变形问题时，网格在计算中会发生严重变形，不仅需要进行网格重构，还会导致计算精度下降。在处理裂纹发展问题时，由于裂纹发展的不确定性，必须对单元进行重新划分，以模拟裂纹发展的整个动态过程。

二、隐人无网格法

隐藏人的起源——无网格方法的发展

对于教主的罩门，另一位大师又练了一门绝学——无网格法，其计算与网格无关。这种无网格方法的出现，与有限元方法不同，在大变形和裂纹发展的问题中不需要重新网格，因此无网格方法不仅可以提高计算精度，而且在处理这类问题时可以降低计算难度。

无网格方法的出现可以追溯到20世纪70年代。当时人们开始研究无网格法的前身——不规则网格有限元差分法。1977年，露西提出了“光滑粒子流体动力学”方法，简称SPH方法。1995年，刘等人提出再生核粒子方法，简称RKPM。RKPM方法和SPH方法一样，是一种基于核逼近的无网格方法。在SPH方法的基础上，引入修正函数来施加再生条件，并采用高斯积分。RKPM方法不仅解决了SPH方法在边界条件上的不一致性，而且完全消除了SPH方法的张力不稳定性。但由于RKPM方法不满足Kronecker delta函数，因此该方法很难施加边界条件。

除了基于核近似的无网格方法，还有一种移动最小二乘法——“移动最小二乘法”，简称MLS方法。1992年，纳约尔斯等人将伽辽金法引入移动最小二乘法，提出了扩散元法，简称DEM法。1994年，Belytschko等人改进了色散单元法，在形状函数的导数中保留了色散单元法所省略的项，并引入拉格朗日乘子法来应用边界条件，即无网格伽辽金法——“无单元伽辽金法”简称EFG法。然后有很多方法，如有限点法——“有限点法”简称FPM法，无网格局部彼得罗夫-伽辽金法简称MLPG法，再生核序谱单元分解法等等。

隐人风格——无网格法的基本思想

我对无网格方法没有深入的研究。从基本思想来看，无网格方法是在解域中安排有限数量的节点，在每个节点上定义覆盖节点周围一定区域的节点权函数或节点核函数，以拟合修改节点附近一定区域内的物理量。每个节点影响的区域称为其支持域，整个解决方案域被所有节点的支持域覆盖。这样就可以通过叠加每个节点的权函数来拟合待求解的函数。

你为什么退休？——无网格法的缺点

隐人无网格法是一种独特的武术，甚至摆脱了有限元网格法的束缚，可以忽略网格划分是否合理，达到不动则赢的境界，但为什么现实中没有商业软件采用这种方法？说到底是因为隐藏人的神秘和不可收拾的诡计。以熟悉的结构分析为例，我们习惯于愉快地在模型的某些节点上施加边界条件。一个节点刚和一个约束节点连接起来就不能有位移的无忧无虑的体验，在无网格法中几乎成了泡影。由于无网格方法中节点的支撑域重合，通常不满足Kronecker函数特性，即节点的位移不仅由该节点的形状函数决定，周围所有节点都可能对其产生影响，因此很难施加位移为0的约束。而且无网格法的积分计算比有限元法复杂，所以这位大师暂时只能生活在特定的领域，江湖上往往只剩下他的传说。

第三，令人垂涎的领导者——广义有限元法

武林中从不缺少惊喜和天赋的新人。广义有限元法就是这样一个可能继承领袖地位的新人。广义有限元法最早是由巴布斯卡一世等人在20世纪末提出的。将传统有限元法中的插值函数作为单元分解函数，可以看出广义有限元法实际上是传统有限元法和无网格法中单元分解法的结合。与传统有限元法相比，广义有限元法与传统有限元法的最大区别在于，在插值函数中引入了能够反映待求解问题特征的函数，从而可以避免网格重构，提高计算精度和效率。

大约同时，国内也有学者提出了类似的观点。1995年，梁教授提出了基于石根华流形思想的广义有限元方法。之后栾茂田等人引入了广义节点的概念，即在传统有限元方法的节点上增加新的自由度，从而得到一种无需增加节点就能模拟高阶变形的广义节点有限元方法。辛亚云在程耀顺教授的指导下，对栾茂田等人提出的广义节点有限元法进行了改进。具体来说，设置每个节点的局部坐标原点来改变节点本身，并给出新的插值函数。2007年，Rajendran和B.R .张将最小二乘法、有限元法和点插值法相结合，建立了一种新的四节点四边形单元，并应用于求解平面应力问题。然后，将该单元应用于非线性柯西材料的自由振动分析和平面应力分析。之后，在程耀顺教授的指导下，李刚进一步改进了辛亚云的广义节点有限元法，并引入了邻近点的概念，结合点插值法，提出了半分散单元法。半分散单元法在原有限元范式函数上增加了新的自由度，使之成为二次完全形式函数，在拟合复杂问题时比传统有限元法收敛更快，精度更高。

初始技能测试——半分散单元法的应用

这部分说明了半分散单元法的优点。

本节中的符号约定:

sdem-表示本文中的半色散单元法；

T3-代表传统三节点三角形单元的有限元方法。

在本节中，通过数值算例比较了半色散单元法和传统三节点三角形单元在稳态热传导计算中的优缺点。

已知四边边界温度的矩形温度场问题

如下图所示，一个无限长的矩形柱体的截面有边长L1和L2，材料性质均匀，柱体内部没有热源。因为圆柱体是无限长的，边界上的热交换条件与纵向坐标无关。因此将问题简化为二维稳态热传导问题。

这个问题的数学模型可以用下面的微分方程表示:

边界条件是

该区域温度分布的解析解为:

为了便于计算，边界条件中L1和L2都取为1，TW也取为1。同时，材料的导热系数Kx和Ky均取1；选择计算区域的中心位置P(0.5，0.5)作为调查点。

根据问题的解析解公式(3)，P位置的温度值可以如下获得

半分散单元法和传统有限元法在计算中采用相同的网格划分。网格划分如下图所示。

利用上述四种网格划分方法，采用半分散单元法和传统有限元法进行求解，得到的检验点P温度值和公式(3)得到的检验点P温度值的解析解列于下表。

四种网格划分模式下的相对误差对比如下图所示。

例如，自由度用作比较标准。表2列出了半分散单元法和传统有限元法的自由度比较。

从表2可以看出，半分散单元法的自由度与传统有限元法相同，这是由于原广义节点有限元中增加的自由度可以用节点信息表示，并在形成刚度矩阵时浓缩出来。

以下误差分析基于自由度数。由于自由度的个数在网格化和加密过程中并不是线性增长的，所以我们在分析中会以自由度个数的自然对数作为度量指标。

可以看出，无论是相同的网格还是相同的自由度，半分散单元法在收敛速度和精度上都远远优于传统的有限元法。

第四，随机英雄谱

看结构分析手段的江湖目前，英雄共崛起，百家争鸣。然而，有限元法以其成熟的理论和严格的笔画，受到了主要软件开发人员的喜欢，因为其中一种主导了江湖。但是，它工整的笔画，有利有弊。对于一些大变形的问题，很难避免因为对手的招式太诡异而措手不及。但无网格法轻便多变，容易应付有限元法无法解决的对手。但是因为它的套路很难琢磨，所以大家都很难用。广义有限元法具有两者结合的意义，但作为一种新的大师，它在国际上还没有成名。

我的知识是庸俗的，世上的英雄不可能无所不知。如有错漏，还望各位官员见谅。

引用

[1]王。有限元方法北京:清华大学出版社，2003

陈。二次广义有限元的性质和边界条件的处理方法:[硕士论文]。上海:同济大学，2011

李刚。半色散单元法:[硕士论文]。上海:同济大学，2007