超越数 无理数，超越数与级数

无限的直觉

人们无法想象整数序列的结尾，只好试图声明“序列是无限的”。序列看似无限，其实是一种潜在的无限。能不能描述的更准确一点？你能说出所有整数的个数并计算出来吗？圣奥古斯丁认为，上帝，也只有上帝才能做到:“上帝的智慧不用心算，就能处理一切无穷，数不清的生命。”在他之后，经过很长一段时间，人们“认识到”这种潜在的无限:在19世纪，康托尔的理论和关于集合的工作最终给出了无限的定义，或者说定义了什么是“基无限”。

这时又出现了另一个类似的问题，和之前的略有不同。对于任何一个数来说，似乎总是可以给出一个更大的整数，但人们却想找到一个“大于所有整数的数”。如果这个说法有意义，那么这个数只能是无穷多个。这样的无穷可以称为“序数无穷”，与上述的“基数无穷”相对。

漫长的历史让数学家们走向了“序数无穷”和“基数无穷”，但数学中还有其他形式的无穷。我们将在第三章讨论无穷小和连续性。在此之前，我们首先要认识到，有限数的一些运算需要借助无穷概念，比如“无理数”，即不能用两个整数之比表示的数。

不合理的

公元前6世纪，受毕达哥拉斯的影响，古希腊数学家认为所有的物理量或几何量都是整数或整数之比，称为“有理数”。很快，他们意识到他们需要使用一些不同于有理数的数字。比如我们可以把一个数本身相乘，得到它的平方；逆运算可以得到平方根。但是，没有一个有理数是2的平方根；而边长为1的正方形的对角线正好是这个值，标为√2。同样，用栅栏围起2平方公里大小的正方形场地，要精确计算场地周长，计算结果是4√2公里，也是无理数。直角边为1m和2m的直角三角形斜边长度为√ 5m，也是无理数。(√5-1)/2的值用来定义最美的人体比例。传统上这是划分长度的完美比值，它的定义方法是较长部分与全长的比值等于较短部分与较长部分的比值——它也是无理数。其实所有的无理数在和一个有理数加减乘除后还是无理数。

无理数的发现导致了数学史上的第一次危机。其实在实际应用中，无理数和整数、有理数一样是必不可少的。但是无理数的定义和书写表达都与无穷的概念有关:没有一个无理数可以用有限的十进制数来书写。

写一个无理数，需要列出它的所有小数。但是这个级数的一个显著特点是无穷:如果级数是有限的或者无穷的，证明这个无理数可以写成两个整数之比，那么它应该是有理数。无穷大的特征只体现在小数的写法上，但它说明了一个事实:这些数字的确是一个无穷过程的结果。如果要确认两个无理数是否相等，就必须逐一比较两个无理数的小数——这将是一项永无止境的工作。所有对无理数的运算都会产生无理数。无理数既是有限的又是无限的，这取决于我们的思维角度:从长度来看，线段是有限的；但是从组成线段的点数来看，线段是无限的。

虽然无理数的定义涉及到无穷，但是今天，我们仍然可以随意计算√2这样的数字。我们把这类数定义为一系列无限有理数极限，或者，如果愿意，可以定义为无限小数的数。构造无理数的无限性是完全隐蔽的，但对我们来说，这些数是完全有限的。

一些小数位...

最简单的数字是正整数，如1，2，3...n用于表示正整数集合。负整数-1，-2，-3可以通过正整数的减法(与加法相反)得到。同样，除法(相对于乘法)可以得到分数或有理数，用集合q表示，所有有理数(即分数)都可以写成小数。但是这些小数要么是有限的，比如5/4 = 1.25，要么是无限循环的，比如1/9 = 0.111111……我们能想象出一个无限但不循环的小数吗？答案是肯定的。能代表组件数量吗？答案是否定的，这是无理数。

超越数

在无理数中，有一些具有更复杂特征的数——“超越数”，不能满足任何一个

积分系数代数方程。

π就是这样一个数，代表圆周与圆直径之比；另外还有自然对数e = 2.71828的底数…

莱布尼茨应用微积分解决物理问题，找到了超越曲线的解，即非代数方程的解。这些曲线像超越数一样是无限的。莱布尼茨说:“超越量的来源是无穷。”从超越曲线和无穷的研究来看，这些曲线，作为一些物理计算的解，正好印证了一句话:“自然界中无穷无处不在。”的确，数学中处处都有无限的阴影。否定无穷就是否定π等无理数:在一个圆里，在最短的线段里，在每一个无理数里，无穷都是存在的。

序列、系列和集合

数列主要存在于数学和物理领域，也涉及无穷。基于一个元素定义下一个元素的过程给出了一个序列。如果序列的基本原型是整数序列，那么我们也可以有偶序列、素序列、立方序列等等。这个推导过程是无止境的，所以序列是无限的。数列的无限性带来的局限性之一，就是我们无法解决其中所有元素的所有问题。

我们能把一个无穷序列看成一个完整的对象吗？至少有些可以。比如我们已经看到，每一个无理数都可以定义为一个有理数序列，叫做柯西序列。我们可以像操作其他数一样操作无理数，也就是说我们至少可以操作一些无穷序列。[1]我们也可以把无理数看作它的小数的无穷序列。

一旦讨论了数列，数列极限的问题就来了:如果数列有极限，那就是一个数；我们在序列中越来越接近这个极限。事实上，数学家定义了许多种“邻近”，这反过来又产生了许多集合和极限的概念。如果有这样一个极限，序列就会收敛并趋于这个极限。上面提到的无理数可以定义为一些有理数序列的极限。

数学家和物理学家总是想计算一个数列中所有项的无穷和，所以就用数列。项数无限，但计算结果可以有限；这样级数就“收敛”了，给出了一个有限和无限的集合。不容易确定级数收敛；如果是收敛的，很难计算出它的值。一个典型的例子是下面这个系列:s = 1/2+1/4+1/8+……+1/2n，很难看出是否收敛。但是，我们有一个“聪明的计划”来计算它的值:构造表的公式是S-1/2 = 1/4+1/8+……= 1/2(1/2+1/4+……)= S/2；既然方程S-1/2 = S/2成立，那么它的值就是解，也就是S = 1。这并不意味着这个阶数是收敛的，但是在我们证明了它的收敛性之后，就可以计算出它的值。

所谓调和级数，即1+1/2+1/3+1/4+…是发散的。在莱昂纳多·欧拉将每个项乘以S的幂之后，他给出了一个更广义的相似性级数，叫做ζ函数(源自希腊字母zeta)。情况就是这样

原级数符合s = 1，换句话说，第n项的值为1/n s，如果s ≤ 1，则该级数发散；如果s > 1，则收敛。欧拉发现级数的第一个意义是与素数紧密相连。但数学家黎曼进一步思考了当S变成复数(不再是实数)会发生什么，于是有了黎曼ζ函数，根据不同的S值，级数不是收敛就是发散。重要的是，一种叫做“解析延拓”的数学方法可以给一个级数一个值，即使它是发散的。

黎曼假设中的这些值被认为是数学史上最重要的问题之一。

1+1+1+1+系列...是自然发散的，对应黎曼ζ函数值s = 0；；此时的解析延拓为-1/2。同样，1+2+3+4+…明显发散，对应黎曼ζ函数值s = -1，即-1/12。这样，解析延拓以惊人的方式给发散级数一个有限值。这不是将发散级数与有限值联系起来的唯一方法，欧拉(1707-1783)是最早考虑这种可能性的数学家之一。(待续)

作者|[法国]让-皮埃尔·卢米马克·拉兹-雷

来源|摘自《从无限开始:科学的困惑与边界》，人民邮电出版社，2018年4月