分数除以整数 【课堂实录】分数除以整数

教学目标:

A班目标:学生自主完成课前挑战单:(1)在具体情况下，可以解决分数除以整数的问题；(2)在计算过程中隐约感觉到“互惠”关系的存在；(3)我能用自己的语言总结出分数除以整数的一般规律。

B类目标:在交流对话中，“类比”各种方法的“适用性”，明确分数除以整数的含义、算法和计算；在解题过程中，命名了互反关系，并用书面语言和符号语言总结了分数除以整数的算法。

c类目标:“分数除以整数”的算法可以转化为“分数除以分数”的运算。

第一节:挑战自己，遇到问题。

分析:

从学生课前挑战单的反馈来看，在具体情况下，学生可以尝试各种方式(根据除法的含义，画图，转换为小数除法)来解决整数除分的问题，只需要进一步分享算法，讲解算法，并“比较”各种方法的优劣；有同学通过画图认识到一个分数除以2就是求这个分数的1/2。2和1/2是什么关系？这种关系怎么命名？分数除法的问题可以转化为分量乘法的问题吗？是否具有普遍性？这些都需要课堂上的交流、对话、鉴别和验证，然后总结分数除法的算法...

第二节:聚焦问题，开始对话。

老师:一个同学在解挑战单第一题的时候写的这个。你知道他怎么想的吗？

健康1:他是根据除法(结合小数单位)的意思来理解的:4/5是4 1/5，4个小数单位(1/5)等分为2，每个为2个小数单位(1/5)，所以数是2/5。

健康2:对，我就是这么想的。

老师:另外一个同学做的。你能理解他是怎么算的吗？

健康3:为什么，他是怎么把4/5÷2变成4/5×1/2的？号码其实和我的答案一样？

健康4:画图就能看懂！把一张纸想象成“单位1”，表示它的4/5，把4/5等分2，即4/5的1/2是多少...

健康5:明白了！如何把(分数)除法的问题变成(分数)乘法的问题来解决，真是太神奇了。

老师:对！同一个问题有两种不同的解决方法。你怎么看待这两种方法？

健康6:第一个是根据除法的意思计算出来的，很好理解；二是把除法公式转化为乘法公式，这很神奇，把“新问题”转化为我们已经解决的“老问题”。

关注挑战列表中的问题2:

老师:有个同学这样解决了第二个问题:“4/5÷3= 12/15 ÷3”。这个公式怎么解释？

健康7:他是结合评分单位来理解的:因为四个评分单位(1/5)平均分为三个部分，所以很难划分(不是整数倍)。根据分数的基本性质，4/5可以换成12/15，12个分数单位(1/15)平均分为三个部分，每个部分是4个这样的分数单位(1/15)，就可以得到这个数

健康8:同意！也可以通过将分数4/5转换为小数0.8来计算...

健康9:如果把4/5÷3换算成0.8÷3，数字是0.26(6个周期)，但是题目要求这张纸每个是多少！

老师:是的，方法有效，但最终结果不符合题目要求...

健康10:把循环小数转换成分量数就够了，但是不容易转换！

老师:我一个同学在课前已经翻译在挑战单上了！我们请他告诉我们他的想法...

健康11:我是这样想的:根据除法和分数的关系，0.8÷3= 0.8/3，但是分数的分子不能是小数。然后根据分数的基本性质，我将分子和分母同时放大10倍，变成8/30，再除以4/15左右。

老师:看来动动脑筋，哪里都有惊喜！如何看待下面同学的公式“4/5×1/3=4/15”？

健康12:4/5等分3，即4/5的1/3是多少！但是他这样写，很容易让人暧昧(三分之一从哪里来？)，完全可以写:4/5÷3=4/5×1/3=4/15

健康13(举手):我发现一个规律:“一分÷几”可以改成“一分×1/几”。

老师:哦，是这样吗？我们来关注黑板:“4/5÷2=4/5×1/2”，“4/5÷3=4/5×1/3”

“2”和“1/2”，“3”和“1/3”是什么关系？

健康14:互惠关系！

老师:什么是互惠关系？

如果“2”乘以“1/2”，“3”乘以“1/3”...

健康15:产品都是1。

健康16:我明白了，两个数的乘积是1，这两个数是倒数！

老师:为什么乘积为1的两个数被称为互反关系？

健康17:把“2”写成分数的形式是“2/1”，但不仅仅是分子和分母颠倒了！因此，乘积为1的两个数称为互反关系。

健康18:对！如果我把这个关系命名为(乘积是1的两个数)，它也将被命名为“倒数”！

老师:所有的数字都有倒数吗？

生于19: 0，没有倒数，因为0乘以任意数等于0(不可能乘以谁等于1)。

健康20: 1有倒数，1的倒数是1，因为1乘以1等于1。

健康21:分数也有倒数。例如，2/3的倒数是3/2(2/3乘以3/2等于1)

健康22:分数的倒数是分子和分母颠倒。

老师:有没有十进制倒计时？

健康23:对，比如0.25的倒数是4，因为0.25乘以4等于1。

健康24:可以，也可以把小数转换成分量数。0.25将分量数转换为1/4，1/4的倒数为4。

老师:现在，谁能重新总结一下刚才四川同学总结的算术规律？

健康25:分数除以整数等于分数乘以整数的倒数。

老师:嗯，很准！能否用符号语言更简洁的表达出来？

健康26:我试试:b/a÷C=b/a×1/C (b/a代表分数，C代表整数。)

老师:可以吗？

健康27:可以，但我觉得也应该说C不等于0。

老师:为什么C不能是0？

健康27:除以0毫无意义！我觉得c应该表示为非零自然数。

老师:是的，这个提醒很有必要，修改的很完美！

课堂练习:

第三部分:以共识为基础，拓展延伸。

老师:刚才我们交换b/a÷C=b/a×1/C的时候说C是0以外的自然数。c可以是分数吗？如果C是分数，我们找到的规则(分数除以整数)也适用吗？

健康28:举例，4/5 ÷ 1/5...

健康29: 4/5除以1/5表示4/5有几个1/5，答案应该是4。

健康30:如果用我们刚发现的规律:4/5÷1/5=4/5×5

健康31:答案也是4！法律也适用！

健康32:哇！确实如此！我会再试一次...

老师:b/a可以是整数吗？如果b/a换成整数(即两个数都除以整数)，这个运算规则也适用吗？

健康33:同样适用！例如，4÷2=4×1/2=2

健康34:我发现一个数除以另一个数，等于这个数乘以另一个数的倒数。这个数字可以是分数或整数...

健康35:我有一个问题:如果这个数是小数，这个算术规则也适用吗？

老师:这个问题问得好。我们举个例子来验证一下。

健康36: 0.8 ÷ 0.2 = 0.8× 5 = 4 (0.2是换算分量数的1/5，所以它的倒数是5)甚至适用。这个操作规则太神奇了！