椭圆周长 可怕的椭圆：没有周长？怎样算?

平面椭圆，神奇的人物。

小时候觉得椭圆是个普通的数字。直到上了高中，接触到了圆锥曲线，经历了一些摧残，感觉自己好像认出了椭圆的真面目。现在遇到了椭圆积分，才发现自己真的很幼稚...所以，我现在对省略号充满了敬畏，不知道什么时候会遇到更多与它们相关的高级知识。让我们从椭圆的圆周开始，慢慢揭开椭圆积分的奥秘......

问题的引入：椭圆的周长

设连续可微平面曲线的参数方程为:

让我们在这条曲线上取一个无穷小，写成。有勾股定理可用:

以及:

引入的表达式有:

双方可以同时集成:

一切都进行得非常顺利，所以让我们再来看看椭圆:

椭圆的标准参数方程肯定大家都很熟悉:

。参数方程的导数为:

这叫椭圆偏心。

类型也可以做变量替换:

然后:

然后取出第二部分，去掉系数和积分的上下限，得到另一个不定积分:

这三种椭圆积分称为完全椭圆积分，否则称为不完全椭圆积分，即:

完全勒让德椭圆积分；

3.椭圆周长公式

椭圆不是没有周长，它只是没有确切的值。它的周长公式是无穷级数的形式:

Fehler。误差与偏心率和半短轴与半长轴之比的关系。图片来源:维基百科。

Fehler。误差与偏心率和半短轴与半长轴之比的关系。图片来源:维基百科。

Ramanujan 近似公式：（精度很高）

费勒，伯瑞希。误差与偏心率的关系。图片来源:维基百科。

注:原文发表在知乎的《数学与自然科学》专栏，原文标题为《无周长的椭圆》？！作者授权在该微信官方账号上发布。