高考圆锥曲线最经典题型总结

第一定义、第二定义、双曲线渐近线等考查

1、设双曲线的—个焦点为F;虚轴的—个端点为B,如果直线FB与该双曲线的一条渐

近线垂直,那么此双曲线的离心率为

【答案】D

2、设抛物线y2=8x的焦点为F,准线为l,P为抛物线上一点,PA⊥l,A为垂足.如果直线AF的斜率为 ,那么|PF|=

8 16

【答案】B

3、8.动点 到点 的距离与它到直线 的距离相等,则 的轨迹方程为 y2?8x 。

4、已知抛物线 的准线为 ,过 且斜率为 的直线与 相交于点 ,与 的一个交点为 .若 ,则 .

若双曲线 - =1的渐近线方程式为y= ,则b等于。

【答案】1

5、已知椭圆 的两焦点为 ,点 满足 ,则| |+ |的取值范围为_______,直线 与椭圆C的公共点个数_____。

6、已知点P是双曲线 右支上一点, 、分别是双曲线的左、右焦点,I为 的内心,若 成立,则双曲线的离心率为

A.4 B. C.2 D.

8、到两互相垂直的异面直线的距离相等的点,在过其中一条直线且平行于另一条直线的平面内的轨迹是

A. 直线 B. 椭圆 C. 抛物线 D. 双曲线

解析:排除法 轨迹是轴对称图形,排除A、C,轨迹与已知直线不能有交点 ,排除B

9、椭圆 的右焦点 ,其右准线与 轴的交点为A,在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点 ,则椭圆离心率的取值范围是

解析:由题意,椭圆上存在点P,使得线段AP的垂直平分线过点 ,

即F点到P点与A点的距离相等

而|FA|=

|PF|∈[a-c,a+c]

于是 ∈[a-c,a+c]

即ac-c2≤b2≤ ac+c2

?

又e∈

故e∈

答案:D

10、若点O和点 分别是双曲线 的中心和左焦点,点P为双曲线右支上的任意一点,则 的取值范围为

A. B. C. D.

【答案】B

11、已知有公共焦点的椭圆与双曲线中心为原点,焦点在 轴上,左右焦点分别为 ,且它们在第一象限的交点为P, 是以 为底边的等腰三角形.若 ,双曲线的离心率的取值范围为 .则该椭圆的离心率的取值范围是 .

12、 已知双曲线 的左顶点为 ,右焦点为 , 为双曲线右支上一点,则 的最小值为___________.

13、直线 过双曲线 的右焦点且与双曲线的两条渐近线分别交于 , 两点,若原点在以 为直径的圆外,则双曲线离心率的取值范围是 .

14、已知 、 为双曲线C: 的左、右焦点,点P在C上,∠ = ,则

2 4 6 8

15、已知 、 为双曲线C: 的左、右焦点,点P在C上,∠ P = ,则P到x轴的距离为

16、已知以F为焦点的抛物线 上的两点A、B满足 ,则弦AB的中点到准线的距离为___________.

解析:设BF=m,由抛物线的定义知

中,AC=2m,AB=4m,

直线AB方程为

与抛物线方程联立消y得

所以AB中点到准线距离为

17、已知椭圆 的方程为 , 、 和 为 的三个顶点.

若点 满足 ,求点 的坐标;

设直线 交椭圆 于 、 两点,交直线 于点 .若 ,证明: 为 的中点;

设点 在椭圆 内且不在 轴上,如何构作过 中点 的直线 ,使得 与椭圆 的两个交点 、 满足 ?令 , ,点 的坐标是,若椭圆 上的点 、 满足 ,求点 、 的坐标.

解析: ;

由方程组 ,消y得方程 ,

因为直线 交椭圆 于 、 两点,

所以?>0,即 ,

设C、D,CD中点坐标为,

则 ,

由方程组 ,消y得方程x?p,

又因为 ,所以 ,

故E为CD的中点;

因为点P在椭圆Γ内且不在x轴上,所以点F在椭圆Γ内,可以求得直线OF的斜率k2,由 知F为P1P2的中点,根据可得直线l的斜率 ,从而得直线l的方程.

,直线OF的斜率 ,直线l的斜率 ,

解方程组 ,消y:x2?2x?48?0,解得P1、P2.

18、

己知斜率为1的直线l与双曲线C: 相交于B、D两点,且BD的中点为 .

求C的离心率;

设C的右顶点为A,右焦点为F, ,证明:过A、B、D三点的圆与x轴相切.

19、椭圆 经过点 ,对称轴为坐标轴,

焦点 在 轴上,离心率 。

求椭圆 的方程;

求 的角平分线所在直线的方程。

20、

已知抛物线 的焦点为F,过点 的直线 与 相交于 、 两点,点A关于 轴的对称点为D.

证明:点F在直线BD上;

设 ,求 的内切圆M的方程 .

21、在平面直角坐标系 中,如图,已知椭圆 的左、右顶点为A、B,右焦点为F。设过点T的直线TA、TB与椭圆分别交于点M 、 ,其中m>0, 。

设动点P满足 ,求点P的轨迹;

设 ,求点T的坐标;

设 ,求证:直线MN必过x轴上的一定点。

22、在直角坐标系 中,点M到点 的距离之和是4,点M的轨迹是C与x轴的负半轴交于点A,不过点A的直线 与轨迹C交于不同的两点P和Q.

求轨迹C的方程;

当 时,求k与b的关系,并证明直线 过 定点.

解: 的距离之和是4,

的轨迹C是长轴为4,焦点在x轴上焦中为 的椭圆,

其方程为 …………3分

将 ,代入曲线C的方程,

整理得

…………5分

因为直线 与曲线C交于不同的两点P和Q,

所以 ①

设 ,则

② ………… 7分

且 ③

显然,曲线C与x轴的负半轴交于点A,

所以

将②、③代入上式,整理得 …………10分

所以

即 经检验,都符合条件①

当b=2k时,直线 的方程为

显然,此时直线 经过定点点.

即直线 经过点A,与题意不符.

当 时,直线 的方程为

显然,此时直线 经过定点 点,且不过点A.

综上,k与b的关系是:

且直线 经过定点 点 …………13分

23、

已知中心在原点,焦点在 轴上的椭圆C的离心率为 ,且经过点 ,过点P的直线 与椭圆C在第一象限相切于点M .

求椭圆C的方程;

求直线 的方程以及点M的坐标;

)是否存过点P的直线 与椭圆C相交于不同的两点A、B,满足 ?若存在,求出直线l1的方程;若不存在,请说明理由.

解设椭圆C的方程为 ,由题意得

解得 ,故椭圆C的方程为 .……………………4分

因为过点P的直线l与椭圆在第一象限相切,所以l的斜率存在,故可调直线l的议程为

由 得 . ①

因为直线 与椭圆 相切,所以

整理 ,得 解得 [

所以直线l方程为

将 代入①式,可以解得M点横坐标为1,故切点M坐标为 …………9分

若存在直线l1满足条件,的方程为 ,代入椭圆C的方程得

因为直线l1与椭圆C相交于不同的两点A,B,设A,B两点的坐标分别为

所以

所以 .

又 ,

因为 即 ,

所以 .

所以 ,解得

因为A,B为不同的两点,所以 .

于是存在直线 1满足条件,其方程为 ………………………………13分

24、直线 的右支交于不同的两点A、B.

求实数k的取值范围;

是否存在实数k,使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F?若存在,求出k的值;若不存在,说明理由.

答案:.解:将直线

……①

依题意,直线l与双曲线C的右支交于不同两点,故

设A、B两点的坐标分别为 、 ,则由①式得

……②

假设存在实数k,使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F.

则由FA⊥FB得:

整理得

……③

把②式及 代入③式化简得

解得

可知 使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点.

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