完全平方差公式 平方差公式与完全平方公式知识点总结电子教案

此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除 乘法公式的复习 一、平方差公式 2 2 =a -b 归纳小结公式的变式，准确灵活运用公式： ① 位置变化， x y y x x2 y2 ② 符号变化， x y x y x 2 y2 x 2 y2 ③ 指数变化， x2 y2 x2 y2 x4 y4 ④ 系数变化， 2a b 2a b 4a2 2 ⑤ 换式变化， xy z m xy z m 2 2 xy z m 2 2 x y z m z m 2 2 2 2 x y z zm zm m 2 2 2 2 x y z 2zm m ⑥ 增项变化， x y z x y z 2 2 x y z x y x y z 2 2 2 x xy xy y z 2 2 2 x 2xy y z 2 2 ⑦ 连用公式变化， x y x y x y 2 2 2 2 x y x y 4 4 x y 只供学习与交流 此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除 ⑧ 逆用公式变化， x y z 2 x y z 2 x y z x y z x y z x y z 2x 2y 2z 4xy 4xz 完全平方公式 活用 : 把公式本身适当变形后再用于解题。这里以完全平方公 式为例，经过变形或重新组合，可得如下几个比较有用的派生公式： 2 2 2 1. a b 2ab a b 2 2 2. a b 2ab a b 2 2 2 2 3. a b a b 2 a b 2 2 4. a b a b 4ab 灵活运用这些公式， 往往可以处理一些特殊的计算问题， 培养 综合运用知识的能力。 例 1．已知 a b 2 ，ab 1，求 a 2 b2 的值。 例 2．已知 a b 8 ， ab 2 ，求 2 的值。 解：∵ 2 a 2 2ab b 2 2 a2 2 ab b 2 ∴ 2 2 4ab ∴ 2 4ab = 2 ∵a b 8 ， ab 2 ∴ 2 82 4 2 56 只供学习与交流 此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除 例 3 已知 a b 4，ab 5 ，求 a2 b2 的值。 解： 2 2 2 a b a b 2ab 4 2 5 26 三、学习乘法公式应注意的问题 、注意掌握公式的特征，认清公式中的“两数”． 2 2 例 1 计算 分析：本题两个因式中 “-5 ”相同， “2x ”符号相反， 因而 “-5 ” 2 2 2 a b a b a b a x b 是公式 = - 中的 ，而“ 2 ”则是公式中的 ． 2 2 例 2 计算 2 2 2 2 分析：运用公式 =a +2ab+b 时，“ - a ”就是公式中的 a， 2 2 “4b”就是公式中的 b；若将题目变形为 时，则“ 4b”是公 式中的 a，而“ a ”就是公式中的 b． 、注意为使用公式创造条件 例 3 计算 ． x y z x y z 分析：粗看不能运用公式计算， 但注意观察，两个因式中的 “2x ”、 “5”两项同号，“ y ”、“ z”两项异号，因而，可运用添括号的技 巧使原式变形为符合平方差公式的形式． 例 5 计算 ． 分析：此题乍看无公式可用， “硬乘”太繁，但若添上一项 ， 则可运用公式，使问题化繁为简． 只供学习与交流 此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除 、注意公式的推广 2 2 2 计算多项式的平方，由 =a +2ab+b ，可推广得到： 2 2 2 2 =a +b +c +2ab+2ac+2bc． 可叙述为： 多项式的平方， 等于各项的平方和， 加上每两项乘积 的 2 倍． 例 6 计算 2 2 2 2 解：原式 = +y + +2 ·2x ·y+2 ·2x+2 ·y 2 2 =4x +y +9+4xy-12 x-6 y ． 、注意公式的变换，灵活运用变形公式 例 7 已知： x+2y=7，xy=6，求 2 的值． 2 2 例 10 计算 -2+ 分析：此题可以利用乘法公式和多项式的乘法展开后计算， 但逆 用完全平方公式，则运算更为简便． 四、怎样熟练运用公式： 熟悉常见的几种变化 有些题目往往与公式的标准形式不相一致或不能直接用公式计 算，此时要根据公式特征，合理调整变化，使其满足公式特点． 常见的几种变化是： 只供学习与交流 此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除 1、位置变化 如交换 3x 和 5y 的位置后即 可用平方差公式计算了． 2 、符号变化 如变为－后就可用平方差公式求解了 2 2 3、数字变化 如 98×102，99 ，91 等分别变为 ， 2 2 ， 后就能够用乘法公式加以解答了． 4、系数变化 如变为 2 2 4 4 4 后即可用平方差公式进行计算了． 、注意公式的灵活运用 有些题目往往可用不同的公式来解， 此时要选择最恰当的公式以 2 2 2 2 使计算更简便．如计算 · ，若分别展开后再相乘， 则比较繁琐， 若逆用积的乘方法则后再进一步计算， 则非常简便． 即 2 2 2 4 2 8 4 原式 =[ ] = =a －2a +1． 对数学公式只会顺向 运用是远远不够的， 还要注意 逆向运用．如计算…，若分别算出各因式的值后再行相乘， 不仅计算繁难， 2 2 9 10 而且容易出错．若注意到各因式均为平方差的形式而逆用平方差公 式，则可巧解本题． 即原式 = ×…× 2 2 3 3 10 10 = 1 × 3 × 2 ×4 ×…× 9 × 11 = 1 × 11 = 11 ． 2 2 3 3 10 10 2 10 20 有时有些问题不能直接用乘法公式解决， 而要用到乘法公式的变 2 2 2 2 2 2 式，乘法公式的变式主要有： + = －2 ， + = +2 a b a b ab a b a b ab 只供学习与交流 此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除 用这些变式解有关问题常能收到事半功倍之效． 2 2 2 2 m n mn m n m mn n 如已知 + =7， =－18，求 + ， － + 的值． 面对这样的问题就可用上述变式来解， 2 2 2 2 即 m+n = －2mn=7 －2 ×=49+36=85， 2 2 2 2 m－mn+ n = －3mn=7 －3 ×=103． 下列各题，难不倒你吧？！ 1 2 1 1 2 1、若 a+ =5，求a + 2 ， 的值． a a a 2 4 8 16 32 64 2、求+1 的末位数字． 23；21．2. 6 ） 五、乘法公式应用的五个层次 2 2 2 2 乘法公式： =a －b ，=a ±2ab＋b ， 2 2 3 3 =a ±b ． 第一层次──正用 即根据所求式的特征，模仿公式进行直接、简单的套用． 例 1 计算 ． 只供学习与交流 此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除 第二层次──逆用，即将这些公式反过来进行逆向使用． 例 2 计算 第三层次──活用 ：根据待求式的结构特征，探寻规律，连续反复 使用乘法公式；有时根据需要创造条件，灵活应用公式． 2 4 8 例 3 化简： ＋1． 分析直接计算繁琐易错， 注意到这四个因式很有规律， 如果再增 添一个因式“ 2－1”便可连续应用平方差公式，从而问题迎刃而解． 2 4 8 解原式 = ＋1 2 2 4 8 16 = ＋1=2 ． 第四层次──变用 ：解某些问题时，若能熟练地掌握乘法公式 2 2 2 3 3 3 的一些恒等变形式，如 a ＋b = －2ab，a ＋b = －3ab 等，则求解十分简单、明快． 2 2 例 5 已知 a ＋b=9，ab=14，求 2a ＋2b 的值． 2 2 2 2 解： ∵a ＋b=9，ab=14，∴2a ＋2b =2[ －2ab]=2=106 ， 2 2 2 2 2 第五层次──综合后用 ：将 =a ＋2ab＋b 和 =a －2ab＋b 综合， 2 2 2 2 2 2 可得 ＋ =2 ； － =4ab； 只供学习与交流 此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除 等，合理地利用这些公式处理某些问题显得 新颖、简捷． 例 6 计算： ． 解：原式 1 2 1 2 = [+] - [-] 4 4 2 2 2 2 2 = － =4x ＋20x ＋25－y ＋2yz －z 乘法公式的使用技巧： ①提出负号：对于含负号较多的因式，通常先提出负号，以避免 负号多带来的麻烦。 例 1、 运用乘法公式计算： ； ②改变顺序：运用交换律、结合律，调整因式或因式中各项的排 列顺序，可以使公式的特征更加明显 . 例2、 运用乘法公式计算： 1 1 1 a 2 ; 3 4 4 3 ③逆用公式 将幂的公式或者乘法公式加以逆用，比如逆用平方差公式，得 2 2 n n n a -b = ，逆用积的乘方公式，得 a b = , 等等，在解 只供学习与交流 此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除 题时常会收到事半功倍的效果。 例3、 计算： 2 2 2 2 2 2 - ; ④合理分组：对于只有符号不同的两个三项式相乘，一般先将完 全相同的项调到各因式的前面，视为一组；符号相反的项放在后面， 视为另一组；再依次用平方差公式与完全平方公式进行计算。 计算： ; . 先提公因式，再用公式 例 2. 计算： 8x y 4x y 2 4 简析：通过观察、比较，不难发现，两个多项式中的 x 的系数成 倍数， y 的系数也成倍数，而且存在相同的倍数关系，若将第一个多 项式中各项提公因数 2 出来，变为 2 4 x ，则可利用乘法公式。 三. 先分项，再用公式 例 3. 计算： 2x 3y 2 2x 3y 6 简析：两个多项中似乎没多大联系， 但先从相同未知数的系数着 手观察，不难发现， x 的系数相同， y 的系数互为相反数，符合乘法 公式。进而分析如何将常数进行变化。若将 2 分解成 4 与 2 的和， 将 6 分解成 4 与 2 的和，再分组，则可应用公式展开。 只供学习与交流 此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除 四. 先整体展开，再用公式 例 4. 计算： 简析：乍看两个多项式无联系， 但把第二个整式分成两部分， 即 1 ，再将第一个整式与之相乘，利用平方差公式即可展开。 六. 先用公式，再展开 1 1 1 1 例 6. 计算： 1 2 1 2 1 2 … 1 2 2 3 4 10 简析：第一个整式 1 1 可表示为 12 1 ，由简单的变化， 2 2 可看出整式符合平方差公式， 其它因式类似变化， 进一步变换成分数 的积，化简即可。 只供学习与交流

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