幻方的解法 幻方解法 文档

Merzirac法生成奇阶幻方 在第一行居中的方格内放1，依次向右上方填入2、3、4…，如果右上方已有数字，则向下移一格继续填写。如下图用Merziral法生成的5阶幻方： loubere法生成奇阶幻方 在居中的方格向上一格内放1，依次向右上方填入2、3、4…，如果右上方已有数字，则向上移二格继续填写。如下图用Louberel法生成的7阶幻方： 30 39 48 1 10 19 28 38 47 7 9 18 27 29 46 6 8 17 26 35 37 5 14 16 25 34 36 45 13 15 24 33 42 44 4 21 23 32 41 43 3 12 22 31 40 49 2 11 20 horse法生成奇阶幻方 先在任意一格内放入1。向左走1步，并下走2步放入2，向左走1步，并下走2步放入3，依次类推放到n。在n的下方放入n+1，再按上述方法放置到2n，在2n的下边放入2n+1。如下图用Horse法生成的9阶幻方： 77 58 39 20 1 72 53 34 15 6 68 49 30 11 73 63 44 25 16 78 59 40 21 2 64 54 35 26 7 69 50 31 12 74 55 45 36 17 79 60 41 22 3 65 46 37 27 8 70 51 32 13 75 56 47 28 18 80 61 42 23 4 66 57 38 19 9 71 52 33 14 76 67 48 29 10 81 62 43 24 5 一般的，令矩阵[1,1]为向右走一步，向上走一步，[-1,0]为向左走一步。则马步可以表示为2X+Y，{X∈{[1,0], [-1,0]},Y∈{[0,1], [0,-1]}}∪{Y∈{[1,0], [-1,0]},X∈{[0,1], [0,-1]}}。对于2X+Y相应的跳步可以为2Y,-Y,X,-Y,X,3X,3X+3Y。上面的的是X型跳步。Horse法生成的幻方为魔鬼幻方。 Hire法生成偶阶幻方 将n阶幻方看作一个矩阵，记为A，其中的第i行j列方格内的数字记为a。在Ａ内两对角线上填写1、2、3、……、n，各行再填写1、2、3、……、n，使各行各列数字之和为n*/2。填写方法为:第1行从n到1填写，从第2行到第n/2行按从1到进行填写，从第n/2+1到第n行按n到1进行填写，对角线的方格内数字不变。如下所示为6阶填写方法： 1 5 4 3 2 6 6 2 3 4 5 1 1 2 3 4 5 6 6 5 3 4 2 1 6 2 4 3 5 1 1 5 4 3 2 6 如下所示为8阶填写方法： 1 8 1 1 8 8 8 1 7 2 2 2 7 7 2 7 6 3 3 3 6 3 6 6 5 4 4 4 4 5 5 5 4 5 5 5 5 4 4 4 3 6 6 6 3 6 3 3 2 7 7 7 2 2 7 2 8 1 8 8 1 1 1 8 将Ａ上所有数字分别按如下算法计算，得到B，其中b=n×。则AT＋Ｂ为目标幻方 。如下图用Hire法生成的8阶幻方： 1 63 6 5 60 59 58 8 56 10 11 12 53 54 15 49 41 18 19 20 45 22 47 48 33 26 27 28 29 38 39 40 32 39 38 36 37 27 26 25 24 47 43 45 20 46 18 17 16 50 54 53 12 11 55 9 57 7 62 61 4 3 2 64 .Strachey法生成单偶幻方 将n阶单偶幻方表示为4m+2阶幻方。将其等分为四分，成为如下图所示A、B、C、D四个2m+1阶奇数幻方。 A C D B Ａ用1至2m+1填写成2阶幻方；B用2+1至2*2填写成2m+1阶幻方；C用2*2+1至3*2填写成2m+1阶幻方；D用3*2+1至4*2填写成2m+1阶幻方；在Ａ中间一行取m个小格，其中1格为该行居中1小格,另外m-1个小格任意,其他行左侧边缘取m列，将其与D相应方格内交换；Ｂ与Ｃ接近右侧m-1列相互交换。如下图用Strachey法生成的6阶幻方： 35 1 6 26 19 24 3 32 7 21 23 25 31 9 2 22 27 20 8 28 33 17 10 15 30 5 34 12 14 16 4 36 29 13 18 11 N 为其它偶数时 当n为非4倍数的偶数时：首先把大方阵分解为4个奇数子方阵。 按上述奇数阶幻方给分解的4个子方阵对应赋值 上左子阵最小，下右子阵次小，下左子阵最大，上右子阵次大 即4个子方阵对应元素相差v，其中v＝n*n/4 四个子矩阵由小到大排列方式为 ① ③ ④ ② 然后作相应的元素交换：a与a在同一列做对应交换, a与a；a与a两对元素交换 其中u=n/2，t=/4 上述交换使每行每列与两对角线上元素之和相等。 ----------------------- Spring法生成以偶幻方 将n阶双偶幻方表示为4m阶幻方。将n阶幻方看作一个矩阵，记为A，其中的第i行j列方格内的数字记为a。 先令a=*n+j，即第一行从左到可分别填写1、2、3、……、n；即第二行从左到可分别填写n+1、n+2、n+3、……、2n；…………之后进行对角交换。对角交换有两种方法： 方法一；将左上区域i+j为偶数的与幻方内以中心点为对称点的右下角对角数字进行交换；将右上区域i+j为奇数的与幻方内以中心点为对称点的左下角对角数字进行交换。 方法二；将幻方等分成m*m个4阶幻方，将各4阶幻方中对角线上的方格内数字与n阶幻方内以中心点为对称点的对角数字进行交换。 如下图用Spring法生成的4阶幻方： 16 2 3 13 5 11 10 8 9 7 6 12 4 14 15 1 YinMagic构造偶阶幻方 先构造n-2幻方，之后将其中的数字全部加上2n-2，放于n阶幻方中间，再用本方法将边缘数字填写完毕。本方法适用于n 4的所有幻方，我于2002年12月31日构造的数学模型。YinMagic法可生成6阶以上的偶幻方。如下图用YinMagic法生成的6阶幻方： 10 1 34 33 5 28 29 23 22 11 18 8 30 12 17 24 21 7 2 26 19 14 15 35 31 13 16 25 20 6 9 36 3 4 32 27 魔鬼幻方 如将幻方看成是无限伸展的图形，则任何一个相邻的n*n方格内的数字都可以组成一个幻方。则称该幻方为魔鬼幻方。 用我研究的Horse法构造的幻方是魔鬼幻方。如下的幻方更是魔鬼幻方，因为对于任意四个在两行两列上的数字，他们的和都是34。此幻方可用YinMagic方法生成。 15 10 3 6 4 5 16 9 14 11 2 7 1 8 13 12 罗伯法： 1居上行正中央，仿次斜填莫相忘，上出框时往下填， 右出框时左边放，排重便在下格填，右上排重一个样。 先说明一个定义：互补：如果两个数字的和，等于幻方最大数和最小数的和，即 n*n+1，称为互补。先看看4阶幻方的填法：将数字从左到右、从上到下按顺序填写：这个方阵的对角线，已经用蓝色标出。将对角线上的数字，换成与它互补的数字。这里，n*n+1 = 4*4+1 = 17；把1换成17-1 = 16；把6换成17-6 = 11；把11换成17-11 = 6……换完后就是一个四阶幻方。对于n=4k阶幻方，我们先把数字按顺序填写。写好后，按4*4把它划分成k*k个方阵。因为n是4的倍数，一定能用4*4的小方阵分割。然后把每个小方阵的对角线，象制作4阶幻方的方法一样，对角线上的数字换成互补的数字，就构成幻方。 下面是8阶幻方的作法： 先把数字按顺序填。然后，按4*4把它分割成2*2个小方阵 每个小方阵对角线上的数字，换成和它互补的数。3、单偶阶幻方n为偶数，且不能被4整除 这是三种里面最复杂的幻方。以n=10为例。这时，k=2 把方阵分为A，B，C，D四个象限，这样每一个象限肯定是奇数阶。用楼梯法，依次在A象限，D象限，B象限，C象限按奇数阶幻方的填法填数。
在A象限的中间行、中间格开始，按自左向右的方向，标出k格。A象限的其它行则标出最左边的k格。 将这些格，和C象限相对位置上的数，互换位置。 在B象限任一行的中间格，自右向左，标出k-1列。???????????? ??? 将B象限标出的这些数，和D象限相对位置上的数进行交换，即可完成。

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