定积分计算高等数学《不定积分与定积分》知识点与题型求解

1.与定积分的定义和性质有关的问题

●用定积分定义求数列极限的基本原理和用法

依据:基于以上结论和定积分的定义，我们可以利用定积分的定义，求出特定分区(均分为N部分)和区间上特殊点(一致取为左端点或一致取为右端点)无穷项之和的极限。

原理、步骤和方法:如果考虑用定积分的定义求无穷项级数的极限，首先要把极限公式写成∑和形式；然后提出一个1/n，再将剩余部分所包含的n和k(或I)转化为i/n或k/n的函数表达式(这个过程可能需要进行缩放，结合pinching定理)，即最终极限公式可以写成∑f(i/n)(1/n)的结构，那么最终极限就可以描述为被积函数f(x)。

[注]如果要建立一个[a，b]的积分区间，需要提出(b-a)/n，其余转化为a+(b-a)i/n，即极限公式转化为∑f[a+(b-a)i/n](b-a)/n的结构，那么最终极限描述如下

●定积分性质命题相关注意事项

(1)与定积分不等式命题相关的证明考虑了积分性质符号保持中的几个结论

(2)定积分、被积函数、积分区间相关命题的证明，考虑定积分的积分中值定理；定积分中值定理在定积分、被积函数和积分区间之间架起了一座桥梁，使定积分的研究可以转化为被积函数。

2.与变限积分函数有关的问题

积分上限函数是被积函数的原函数，因此，积分上限函数是连续可导函数

●已知条件或结论中包含积分上限函数的问题。一般的直接思路是先导出积分的上限函数。

●积分上限函数也叫变量上限函数。因此，可变下限函数和以积分上下限为函数的积分极限函数可以转化为可变上限函数。因此，结合积分上限函数的复合函数，可以得到上述变限函数的导数表达式

●积分变量-极限函数求导的基本原理是将被积函数表达式转化为与导数变量无关但在求导前只与积分变量相关的表达式；积分的上下限是导数变量函数的结构，这样就可以直接应用变量极限积分的导数公式了！即被积函数的积分变量用变量极限表达式代替，然后乘以变量极限函数的导数得到求导结果，即根据课件和上述公式，最后得到的变量极限积分公式转换如下，求导结果如下

也就是说，如果被积函数表达式包含导数变量，就应该提出来；如果不能提出，可以用代换积分法的方式进行变换，使其不含导数变量。

3.不定积分和定积分的计算与证明

定积分计算步骤总结(不定积分的计算思路从步骤3开始)

第一步:分析积分区间是否关于原点对称，即[-a，a]。如果是，考虑整个被积函数或者项的加减拆解后的部分是否有奇偶性。如果是，考虑利用“偶次奇零”的性质简化定积分计算。

第二步:考虑被积函数是否具有周期性。如果是周期函数，考虑积分区间的长度是否是周期的整数倍。如果是，利用周期函数的定积分等于任意周期长度区间的定积分的结论，简化积分计算。

第三步:检查被积函数是否可以转化为“反指数三”五类中两类基本函数的乘积，或者是否包含正整数n参数或抽象函数的导数乘法项。如果是，考虑用定积分的分部积分来计算定积分。

第四步:检查被积函数是否包含特定结构的函数，如平方和或根号下的平方差(或可转化为两项和平或差的结构)，是否有根公式，有理公式的分母度数是否比分子度数高2倍以上；无论包含指数函数还是对数函数，对于这种结构的积分都考虑三角代换、根式代换、逆代换或者指数和对数代换；一般选择严格单调函数作为代换函数；与不定积分不同的是，变量转换后，定积分的上下限必须转换到新积分变量的范围内，按照:上限到上限，下限到下限；而且改变元素后直接计算关于新变量的定积分是最终结果，所以不需要通过求逆来改变元素！

[注1]无论是分部积分还是代换法(第一类代换法)，一般都是将被积函数分解成两个函数的乘积，然后考察一个简单函数的原函数。大意是(假设函数h(x)是简单函数):

[注2]对于两个函数的乘积，在寻找h(x)的原函数的过程中，注意可能的原函数结构与剩余函数的关系，通过构造函数(对函数项进行加减乘除以弥补需求)得到函数的原函数。

[注3]考虑简单函数的导数，可以找到剩余函数之间的关系，构造合适的转换方法和计算方法。

[注4]记住三角代换的三个三角形是用来反代换三角函数表达式的。

四.定积分的应用

定积分模型能解决的问题类型及解题的基本思路和步骤；

(1)定型:确定所需量是否适合用定积分模型求解。

依据:待算量是加法，即待算量可以除，总量等于各部分的量之和。

(2)对齐:将所需数量分配到一个有限长度的线段上，这样就可以通过线段的分段来分割所需数量。量的划分方式可以是线段上的点(如细杆的质量、变力沿直线段的位移、变速直线运动距离的计算、直线构件对质点的吸引力等。);也可以在线段上取点做直线(如静压、平面面积的面积等)来划分所需的量。)或垂直于线段的平面(如计算实体体积)。

[注意]线段的选择不是唯一的。

(3)定限:通过选定的直线段后，指定合适的位置作为原点和A方向，建立数轴(或坐标系中的一个坐标轴)，使数轴上的线段所占的区间[a，b](即所需量分布在对应于[a，b]的线段上，或垂直于通过A，b的数轴的两条直线或平面之间)为定积分的积分区间

【注】:直接给出给定函数或变量范围的实际问题区间。比如求圆心角为A、半径为R、线密度为μ的弧形物体对位于圆心的质量为M的粒子的引力，变量的范围可以直接取为[0，a]或[-a/2，a/2]等。坐标系的建立是不一样的。也就是说，相同的变量值范围可能对应不同的积分区间。(本题目可以通过划分圆心角的范围来计算相应小线段的弧长，从而通过相应的质量计算得到小线段的重力，然后通过力的分解和定积分计算出指定方向的力。本课题建立的坐标系主要服务于力的分解。).

(4)(分割)近似:如果x∈[a，b]作为增量dx给定，那么总量将根据两个端点的位置，以及整体属性(如高度、密度、力、距离等)通过适当的方法(点分割、线分割、面分割)进行分割。)的单元格之间的对应部分量将被X位置属性替换以构造函数

(5)(求和取极限)建模:以[a，b]为积分极限，以f(x)dx为积分表达式，写出计算总量u的积分模型，即

(6)计算:计算定积分。

[注]其中，(4)、(5)是元素法(或无穷小法)的基本思想，即“分取近似、求和求极限”。

【注1】:如果不能对整个区间[a，b]建立统一的被积函数表达式，则考虑将区间分成若干区间，重复“元素法”的步骤建立积分模型，分别计算定积分，然后借助量的可加性求和得到最终的总和。

【注2】定积分只能是量的和(标量)，所以矢量的计算要分解成变量来计算分量，比如重力。

动词（verb的缩写）广义积分

1、积分值的定义方法及确定积分的敛散性

用定义法计算广义积分和判断广义积分收敛性的依据:定积分的计算和积分结果的极限

即首先将无穷的广义积分转化为有限区间上的定积分，将无界函数的广义积分转化为有界函数的定积分。然后限制积分结果；最后，根据极限和极限值的存在，可以计算出不当积分的值或确定不当积分的敛散性。

2.判断广义积分收敛性的方法

判断方法与正常数级数收敛判断方法的比较及类似结论:p积分和q积分