米子 Majorana费米子与拓扑量子计算（下）

4拓扑量子计算

4.1提出拓扑量子计算

在信息时代，对计算效率的要求日益提高。虽然基于经典计算方法的硬件和算法在不断发展，但计算效率的空范围越来越有限。在过去的一个世纪里，人类对量子世界的基本规律进行了大规模的探索。自20世纪80年代以来，基于量子原理的计算模式的思想开始形成，然后逐渐演变成两个研究主线，一个是研究基于量子原理的算法，另一个是研究基于量子系统的硬件实现。容错和反退相干是量子计算中亟待解决的问题，拓扑系统自然具有这种优势。在这些材料中，拓扑保护的非阿贝尔准粒子一方面对环境干扰具有鲁棒性，另一方面可以通过相互交换改变量子态。拓扑量子计算的实现利用这些非阿贝尔任意子代之间的交换来编码信息，通过一系列交换操作实现任意变换，改变量子比特的状态。

作为希尔伯特空中的一个向量，量子态在特定坐标基向量下的投影就是波函数，波函数的演化由变换的变换来描述。与经典计算机使用0和1两种不同的状态来存储信息不同，量子计算的基本存储单元是一个二维希尔伯特空，称为量子位。量子态的线性叠加为量子系统提供了巨大的可用信息存储和计算资源。然而，量子计算的瓶颈在于量子态的退相干。环境会导致系统退相干，即环境干扰导致波函数坍缩。量子计算中的误差也具有不同于经典计算的特点:一方面无法通过测量直接检测误差是否发生，另一方面量子态中存在连续的相位误差，如a | 0 >: + b|1 >等；→ a|0>。+ beiθ|1>。(相位θ可以是任意的)。因此，控制误差也是量子计算的关键。

利用系统的拓扑性质可以从根本上解决退相干和误差问题。系统的拓扑性质是什么？在数学上，拓扑学主要研究几何对象在平滑变换下的不变性，如拉伸、收缩等连续变形，但不切割或粘接表面，所以变换前后的几何对象被认为是拓扑等价的，存在拓扑不变量。所以拓扑不关注长度、角度等局部性质，只关注全局性质，全局拓扑性质不会因为局部扰动而改变。在物理系统中，由于环境的干扰主要以局部相互作用的形式出现，因此可以保护拓扑物理系统免受环境的影响，从而很容易解决环境引起的退相干问题。因此，拓扑量子计算作为一种容错量子计算在2003年前后被正式提出。

但拓扑不变性不是哈密顿量的对称性，而是系统在低能极限下的一种整体对称性。对于拓扑量子计算来说，寻找具有拓扑准粒子的实际物理系统也是一个重要方面。拓扑量子计算是解决量子退相干的好方法，拓扑性质隔离了外界环境的影响。想象一下，我们已经准备好了拓扑保护的初始状态，量子态需要在计算过程中进行适当的演化，这可以通过对非阿贝尔任意子进行特定的交换操作来实现。

4.2交换任何孩子

任意子粒子都是二维拓扑系统中受激准粒子。如图8所示，在3+1维时间空中，一个粒子绕另一个粒子旋转一周，在拓扑上等价于平庸的演化(两个粒子的世界线不纠缠)，所以量子态实质上不变，等价于两个粒子的两次交换操作。因此，当执行交换操作时，量子态波函数的相位的允许变化值是0和π，它们分别对应于玻色子和费米子。但在2+1维时间/[/k0/】中，一个粒子不可能连续转化为平庸的演化(两个粒子的世界线纠缠在一起)，所以任何可能的相位都是允许的，因而交换操作引起的相位可以是任意的，所以2+1维时间/[/k0/】中的粒子(准粒子)比如在v=1/3的分数量子霍尔态中，它的准粒子是阿贝尔任子，两个准粒子的交换产生一个π/3的相位，这个相位

其中P2=1，所以对应于P=1和p =-1的系统中的电子总数分别是偶数和奇数。因此，虽然2N MZMs形成n个量子位，但费米数宇称守恒的约束使得真正独立的量子位数变为n-1。

利用MZM存储信息，有两种编码方法:密集编码和稀疏编码。在稠密编码中，2n+2个mzm形成n个独立的量子位，第k个量子位是iγ 2k-1γ 2k = 1的本征态，最后一对mzm保证了系统费米数的宇称守恒，因此与整个系统的其他部分纠缠在一起。这种编码方式的优点是很容易实现前门操作，缺点是最后一对MZM的误差会影响所有的量子位。而在稀疏编码中，使用4n个mzm，每四个mzm作为一个组，形成一个计算子空。对于每组中的四个mzm，需要γ4k-3γ4k-2 γ4k -1γ4k= -1，也就是说一组中的两个量子位不是独立的，它们的状态是一致的，所以费米子必须成对出现。每组有一个自由的量子位，所以有n个独立的量子位。

量子计算是基于一系列基本的门运算，这些门运算的组合可以产生任意的变换。单比特的基本门操作包括哈达玛门、泡利X门、泡利Y门、泡利Z门、π/8相滑动门等。在费米子占据数的表示下，表示为| 0 >:，| 1 >；作为基向量，这些门运算的矩阵表示为

很容易看出U12U23U12可以产生哈达玛门:

同理，还有泡利门操作:

单比特门操作的示意图见图11。

图11是单比特门操作的示意图

对于双比特运算，可以通过一定的测量手段，由稀疏编码转换为密集编码，然后再转换为稀疏编码。两个量子位的密集编码需要六个mzm(γ1，γ2，γ3，γ4，γ5，γ6)才能形成三组费米子(na，nx，nb):

如图12所示。

图12是在密集编码下形成三个比特的六个mzm的示意图(其中量子比特a和b的占用数作为基本向量)

我们选择

是基向量(nx由na和nb唯一确定，用来保证系统费米数的宇称守恒。一般我们假设六个MZM系统的费米总数是偶数。每个交换操作的矩阵表示如下

在公式中，u的上标(6)表示在这些矩阵作用下，空之间有两个由6个mzm以密集编码形式组成的量子位。很容易看出，直拉门操作和CNOT门操作分别是

双位门的操作示意图见图13。

图13是双位门操作的示意图

以上是关于MZM编码信息和实现门操作的简要介绍。然而，利用MZM很难实现π/8相移门操作和普适拓扑量子计算。最近，提出了一个新方案来克服这个困难。

5总结与展望

通过上面的介绍，我们已经看到了如何从拓扑超导系统中产生Majorana费米子，以及为什么MZM服从非阿贝尔统计。这一切的根源都是非平庸的费米子配对:自旋自由费米子的配对必须服从奇宇称，最简单的是p+ip配对，这导致了超导态的拓扑性质，而不同拓扑区域之间的畴壁孕育了零能Majorana模式。另一方面，描述费米子配对的序参量场的单值要求其相位变化在绕单个磁通量时仅为2π，而单个费米子的波函数只有一半相位变化，因此费米子在穿越相位割线时只积累π相位。因此，电子和空空穴线性叠加的MZM，在相互绕圈时会积累π相，从而使MZM成为任意子。另外，两个mzm相当于一个狄拉克费米子，所以一个mzm可以看作一个分数狄拉克粒子——“半电子”。MZM在交换过程中积累的非平庸相位会改变MZM成对配对得到的量子态，从而导致MZM的非阿贝尔统计性质。

一百多年前，昂奈斯发现了超导，半个世纪前，库珀提出费米子对来解释超导。现在已经发现，费米子配对的意义不仅仅是产生零电阻、迈斯纳效应和约瑟夫森效应，而且是为形成Majorana费米子提供一个物理体系。在二维p+ip拓扑超导中，MZM被约瑟夫森涡旋俘获，超导相被控制操纵MZM实现运动、交换和湮灭。可以预见，在不久的将来，凝聚态中的MZM探测和拓扑量子计算的实现将会有重大突破，让我们看到实现量子计算的曙光。

谢谢你。感谢中国科学院物理研究所研究员李露的有益探讨。

本文选自《物理》2017年第3期(原文来自中国物理学会期刊网)

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