多元函数微分学 多元函数微分学及应用概念、结论与题型应用解析

一.基本概念

1.二重极限、重复极限及其关系

[注]矩阵H是对称矩阵。

当n=2时，由二元函数f(x1，x2)的所有二阶偏导数组成的Hessian矩阵为

(1)点X0称为函数f(X)的驻点或稳定点，所以一阶偏导数的n元函数的极值点一定是驻点。

(2)假设函数f(X)在X0处可微，X0是f(X)的驻点。如果在X0的任意邻域内既有函数值大于f (X0)的点，又有函数值小于f (X0)的点，即X0不是极值点，则X0称为函数f(X)的鞍点。

(3)可微函数z=f(x，y)在极值点(x0，y0)有一个水平切面，切面方程为

z=f(x0，y0)。

5.可微函数取极值的充分条件

定理假设n元函数f(X)在点X0处有二阶连续偏导数，并且

设H(X0)为f(X)在点X0处的Hessian矩阵。

(1)如果H(X0)是正定的，X0是f(X)的最小点；

(2)如果H(X0)为负，则X0为f(X)的最大值点；

(3)如果H(X0)不确定，则X0是f(X)的鞍点；

(4)其他需要单独判断的情况(半正定、半负定)。

6.判断二元函数极值的充分条件

定理假设二元函数z=f(x，y)在(x0，y0)处有二阶连续偏导数，并且

记住

有

(1)如果a >: 0且AC-B2 >: 0，则f(x，y)取(x0，y0)处的最小值；

(2)如果a : 0，那么f(x，y)取最大值at (x0，y0)；

(3)如果AC-B2

(4)其他需要另行确定的情形。

7.实对称矩阵正定相关的定义和判断

(1)实对称矩阵正定的充要条件是其所有阶的主子公式都大于零；即

P(x0，y0，z0)是曲线c上的一个点，假设F(x，y，z)，G(x，y，z)对每个变量都有一阶连续偏导数和雅可比。

在非零的条件下，由点P(x0，y0，z0)的某个邻域内的方程确定一组具有连续导数的隐函数y=y(x)和z = z (x)，使得曲线c可以用相应邻域内的参数方程表示

描述。曲线的切线方向向量可视为

这样，我们就可以通过取方程两端x个变量的导数，计算出点p处dy/dx和dz/dx两个导数的值，就可以得到一般的计算公式，即

以上两个公式分别称为f(X)钢琴余数在X0的一阶和二阶泰勒公式。它们表明在一定条件下，函数f(X)可以用线性函数和二次函数逼近。

[注]当n=1时，它们在形式上与一元函数的泰勒公式相同。以上可以推广到多元函数N阶泰勒公式。

以二元函数为例，给出更具体的描述形式！以二元函数为例，求多元函数的n阶泰勒公式:

设z=f(x，y)在点(x0，y0)的邻域内是连续的，且具有n+1阶的连续偏导数。如果(x，y)是这个邻域中的任意一点，设h=△x =x-x0，k=△y =x-y0，那么有

在…之中

这个公式叫做泰勒公式，拉格朗日余数在二元函数f(x，y)的第n阶的点(x0，y0)。当(x0，y0)=(0，0)时，就是麦克劳克林公式。

5.条件极值的求解方法

条件极值问题的求解方法是无条件方法:

(1)一种是通过约束约简将二元函数f (x，y)转化为无条件极值，也叫代换法:如果二元函数f(x，y)的极值问题满足约束条件g(x，y)=0，y=y(x)可以用g(x，y)=0来求解，那么条件极值问题就可以转化为一元函数的无条件极值问题，即

(2)一种方法是加元素法，即拉格朗日乘子法:如果二元函数f(x，y)的极值问题在约束条件g(x，y)=0下求解，则可以使用拉格朗日辅助函数

L(x，y，λ)=f(x，y)+λg(x，y)，

得到了求解L(x，y，λ)的无条件极值问题的必要条件，其中参数λ称为拉格朗日乘子，这种将条件极值问题转化为拉格朗日函数的无条件极值问题的方法称为拉格朗日乘子法。

(3)二元函数条件极值的图解法:借助二元函数的等值线，考察变量(x，y)在条件方程对应的曲线上运动时，等值线对应的函数值的变化，得到极值点位置和极值，如下图所示。

依据是极值点的等值线与条件方程对应的曲线相切；以便具有相同的切线和法线。根据两个法向量平行，对应坐标成比例，切点坐标满足条件方程，可以得到极值点位置和极值；推导了拉格朗日乘数法。

(4)多自变量多条件拉格朗日乘数法

为了解决函数f(x，y，z)在g(x，y，z)=0的条件下的极值问题，使用了拉格朗日函数。

L(x，y，z，λ)=f(x，y，z)+λg(x，y，z)，

条件极值问题转化为无条件极值问题，停滞条件是梯度为0，即，

为了解决函数f(x，y，z)在g1(x，y，z)=0和g2(x，y，z)=0条件下的极值问题，建立了拉格朗日函数

条件极值问题转化为无条件极值问题，停滞条件为

6.求闭域上连续多元函数最大值的步骤

第一步:找到目标函数，确定域和约束条件；

第二步:找出所有可能的驻点，包括区域内无条件极值得到的驻点和边界上条件极值得到的驻点；

第三步:比较所有驻点的函数值，还要考虑边界曲线端点或尖点函数值的大小，最大值为最大值，最小值为最小值；另外，最大值是根据问题的实际意义来确定的。

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