数学起源 胡翌霖 | 数学的起源

作者胡一林(清华大学助理教授)

许家勤、刘玉主编

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数学到底是什么？其实我在这本书里并没有具体讨论什么是“科学”，也没有试图对这些问题提供一个明确的答案。对科学本身的理解是科学史的一部分，对数学的理解也是数学史的一部分。但我先介绍一个流行的定义，可以从这个定义中包含的疑点追溯。

《现代汉语词典》说，数学是“研究现实世界中空之间的形式和数量关系的科学。”这句话有很多问题:

首先，几何学研究的空形式真的属于“现实世界”吗？数学对象和现实世界有什么关系？

其次，“数量关系”是什么意思？数量和数量是一回事吗？数量是一种关系吗？

第三，为什么空的研究和量的研究归为一类，几何和代数的关系是什么？是互补还是从属，谁从属于谁？

最后，数学是“科学”吗？这是什么意思？也许是技巧而不是科学？

以上问题都是历史性的。不同的人在数学史的不同阶段有不同的理解，这些理解不仅影响数学的发展，也影响自然科学对数学的应用。

有了这些问题，我们将回顾数学史的发展。

古代祖先有计数和测量活动。当然，这些活动一开始都是具体的。人们用手指数，用手和脚测量长度。如果这种活动是数学，那么数学本来就是这些物理技术。

写作出现后，数学活动开始脱离身体。人们使用书写符号来记录数字和测量值，并发展了更复杂的数学技能。古埃及和古巴比伦，包括古印度和古代中国，在数学方面都有很大的成就。

巴比伦人已经开始使用60为基础的分数。他们可以精确到百万分之一(图11.2.1)。他们能解决相当于一元二次方程的算术问题，甚至能找到三次方程甚至更高阶方程的近似解。

古代文明中的数学更多的是一种实用技术。虽然他们的努力在很多方面已经远远超过了实际需要，就好像各种实用技术都会发展出一定的游戏或者艺术维度，但是实用主旨还是基调，和希腊之后的数学有很大的不同。比如巴比伦人会“验证”计算结果，却不在乎逻辑推演意义上的“证明”。此外，它们通常不区分精确解和近似解。

▲图11.2.1巴比伦人对根数2的计算。图中斜边用60的十进制形式的值标注:“1，24，51，10”，即斜边与正方形边长的比值。另一个值“42，25，35”是边长为30时斜边的长度。

希腊数学无疑受到了巴比伦和埃及的影响，但却走了一条独特的道路。

传说中最早的自然哲学家泰勒斯，曾在埃及求学，将埃及人的“大地测量学”引入希腊，发展了以推理论证为重点的几何学。根据传说，泰勒斯自己证明了几个数学定理，比如“如果两个角和两个三角形的一边相等，那么两个三角形全等”。但是这些传说都是缺乏证据的，毕竟早期的文献已经基本消失了。但这种传说反映了古希腊人的自我定位，希腊数学从一开始就确实表现出了不同的倾向。

说到希腊数学的起源，我们必须提到毕达哥拉斯(大约在570 -495年以前)。毕达哥拉斯的生活和思想也是迷雾重重，一方面是因为文学的无序化，另一方面是因为毕达哥拉斯本人是一个类似于深奥宗教的社会的领袖，而这个社会集体的很多成就也归功于毕达哥拉斯的名字，比如著名的毕达哥拉斯定理(毕达哥拉斯定理)很可能不是毕达哥拉斯本人完成的。所以我们讲毕达哥拉斯，更多的是讲毕达哥拉斯学派的贡献。

哲学和数学可以追溯到毕达哥拉斯。“哲学”的希腊本义是“爱智慧”(据说毕达哥拉斯最早宣称的是“爱智者”)，而“数学”的本义是“可以学的东西”。当这两个词放在一起时，它们意味着一些重要的东西。毕达哥拉斯学派追求智慧，其教授继承数学。也就是说，毕达哥拉斯的数学不再仅仅是一门实用的计算技术，而是一门真实而高尚的知识。

【本文摘自上海教育出版社2016年7月出版的《抽象:数学革命》第11讲《过时的智慧:科学通史十五讲》。】