二重积分 二重积分的概念与性质总结与题型解析

1.曲面顶部圆柱体

曲顶圆柱:以有界平面面积D为底面，该面积的边界D为准线，垂直于底面的直线为其母线，曲面为其顶面的圆柱。一般底面d所在的平面为xOy坐标平面，指向弯曲顶面的母线方向为z轴正西施工空之间的直角坐标系。

2.二重积分的建模思想和步骤

(1)建模思想:无穷小方法

(2)建模步骤:“变大变小，不断变化，近似求和，取极限”

(3)模型转换:

公式中的△σk表示小面积的面积，括号中的△σk表示面积。

3.定积分的几何和物理意义

几何意义:(1)当f(x，y)=1时，表示积分面积d的面积；

(2)当f(x，y)≥0时，指积分面积为d，d的边界为准线，母线平行于z轴的圆柱体为边，顶部为z=f(x，y)的曲面圆柱体的体积。

物理意义:当f (x，y) >: 0时，表示平面密度ρ=f(x，y)且占据平面面积d的平面切片的质量.

4.二重积分的存在定理

定理1:如果函数f(x，y)在有界闭区域d上是连续的，那么f(x，y)在d上是可积的。

定理2:如果函数f(x，y)除了有限个数的点或有限个数的光滑曲线外，在有界闭区域d上是连续的，那么f(x，y)在d上是可积的。

5.二重积分的积分性质

性质1(线性运算性质)如果函数f(x，y)，g(x，y)在有界闭区域d内可积，且α，β为实常数，则有

[注]在应用中，可以利用线性运算的性质来拆分积分；利用逆运算，多重积分也可以组合成一个积分。即同一面积上两个不同函数的积分和可以组合成积分面积上被积函数之和的积分。

性质2(积分区域的可加性)将有界闭区域D分成两个闭子区域D1和D2，除了边界之外，这两个闭子区域彼此不重叠。如果函数f(x，y)在区域D上可积，那么就有

性质3(保序)(1)如果函数f(x，y)在有界闭区域D上是可积且非负的，那么

(2)如果函数f(x，y)，g(x，y)在有界闭区域d上可积，并且f(x，y)≤g(x，y)存在于d上，那么

尤其是绝对值不等式

性质4(估计定理)如果函数f(x，y)在有界闭区域D上是可积的，并且在D上有常数M和M使得m≤f(x，y)≤M，那么存在

其中a是面积d的面积.

如果函数f(x，y)在有界闭区域D上是连续且非负的，并且D1是D的闭子区域，那么存在

性质5(积分中值定理)如果函数f(x，y)在有界闭区域D上是连续的，那么至少有一个点(ξ，η)∈D，所以

其中a是面积d的面积.

性质6(偶次奇零)设函数f(x，y)在有界闭区域d上是连续的:

●如果D关于X轴对称，X轴以上的区域是D1，那么有

●如果D关于Y轴对称，Y轴右侧的面积是D1，那么有

即积分区域关于x轴对称，被积函数关于y变量奇偶性。如果积分区域关于Y轴对称，被积函数关于X变量有奇偶性，那么积分就是偶次奇零。

性质7(旋转对称)如果函数f(x，y)在有界闭区域D上连续，积分区域关于直线y=x轴对称，直线y=x轴的下部表示为D1，直线y=x轴的上部表示为D2，则有

6.不要借助二重积分性质来计算和比较积分大小

问题类型1:积分面积相同，但被积函数不同。通过分析被积函数的特征及其相互关系，比较同一积分区域内被积函数的大小，借助积分的保序性来比较积分的大小。

问题类型2:被积函数相同，但积分区域不同。通过分析积分区域的特征和相互关系，利用积分的可加性和保序性对积分进行了比较。

7.利用二重积分中值定理解决问题的特点

如果问题中包含二重积分模型，且条件或结论中也包含积分面积或被积函数表达式，则可以利用二重积分中值定理求解。二重积分中值定理在二重积分和被积函数之间架起了一座桥梁，使得二重积分可以直接用被积函数来描述，甚至可以将二重积分的一些问题转化为被积函数来讨论。

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