三角形内切圆性质 费尔巴哈定理 | 内切圆 | 旁切圆 | 九点圆

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我的微信官方账号多次谈到九点圈。其实费尔巴哈对九分圆的研究比较深入，所以后来人们也把九分圆叫做费尔巴哈圆。今天我要讲一个和九点圆有关的定理，叫做费尔巴哈定理。这个定理涉及到三角形的九点圆、内切圆和外接圆及其关系。

费尔巴哈定理:三角形的九点圆与三角形的内切圆和三个外接圆相切。

知识复习1:九点圆是指三个中点(下图中的M A、MB、MC)、三个垂足(HA、HB、HC)以及垂心与顶点(KA、KB、KC)连接的中点位于一个圆上的三角形，称为九点圆。

知识复习2:三角形三个内角的平分线相交于一点，称为三角形的内心，一般记为I；以内心I为圆心，以内心I到三条边的距离为半径的圆，称为这个三角形的内切圆。三角形任意两个角的外角平分线与第三个角的内角平分线相交于一点，称为三角形的边心；一个三角形有三个边心，记为IA(与角A相对的边心)、IB、IC；以圆心为圆心，半径为圆心到三条边的距离的圆称为三角形的切圆。三角形有三个相切的圆。

知识复习3:三角形的内切圆和外接圆是分开的(不相交或不包含)或外切的。在分离的情况下，三角形的内切圆和外接圆之间有四条公共切线，其中两条是公共切线(也是三角形两边的直线)，两条是公共切线(其中一条是三角形的第三条边)。下图中我把三角形ABC画得更接近钝角三角形，这样内切圆和外接圆的距离就变大了，便于观察内公切线。

知识复习4:从一个三角形内角的顶点到与这个角相对的边中心圆所画的两条切线的长度，等于三角形三条边的长度之和的一半。设角A的对边为A，角B的对边为B，角C的对边为C；设2s=a+b+c，即s为三边长度和的一半:s=(a+b+c)/2。那么，从角a的顶点a到对边圆的切线长度就是S..不难证明。如下图所示，有

AK'=AC+CK'=b+CN '

=b+(BC-BN')=b+(a-BJ ')

=a+b-BJ'= a+b-(AJ'-AB)

= a+b-(AK'-c)=a+b+c-AK '，

所以2AK'= a+b+c，也就是AK'=s..

知识复习5:一个三角形的内切圆和外接圆之间的一条内公切线就是三角形的一条边，如下图BC所示。设两个切点为l和n，有BL=CN。不难证明。如下图所示，有

2BL=BL+BJ=(a-CL)+(c-AJ)

=a+c-(CL+AJ)=a+c-(CK+AK)

=a+c-b=a+b+c-2b

=2s-2b=2(s-b)，

所以，BL= s-b ①。我们在前面的文章中已经知道AK'=s，所以CN=CK'= s-b②。从① ②得到BL= CN。

费尔巴哈定理本身的证明:我们重新标记了点的字母，如下图所示。分别取BC、CA、AB的中点d、e、f。设BC边和BC边外的内切圆(绿色)和外接圆(也是绿色)分别与点Q和Q’相切。根据前面的文章，BQ=CQ '，所以d点也是QQ的中点'。三点D、E、F的圆(红色)是三角形ABC的九点圆(因为“九点”包括三条边的中点)。费尔巴哈定理证明了九点圆既与内切圆I相切，又与外接圆I A相切。

接下来，我们将使用反转作为利器。选择d点为反演中心，DQ长度为反演半径，做一个反演圆(上图天蓝色)。在点q和q′处，内切圆I和外接圆IA分别与反转圆d正交。因此，内切圆和外接圆在逆向演化中不发生变化(或自身发生变化)。所以你可能会觉得很难理解。其实也很简单。就内切圆而言，如果我们任意地把D点作为内切圆的割线相交于两点，那么D点到这两个交点的距离的乘积就是这个点关于内切圆的乘方，这个乘方也等于这个点到内切圆的切线长度的平方，就是反演半径DQ的平方。这正好说明两个交点是反转点，所以在这个反转下，内切圆就转化成了自己。切圆也是如此。

解决问题的关键时刻到了。两个圆的两条内公共切线，一条是BC边，另一条是BC关于角A-B‘C’的角平分线AIA“IA”的对称图形。当然是内切圆和外接圆都相切(这个很重要)。如果能证明B‘c’与九点圆互逆，就可以得到九点圆与内切圆和外接圆都相切的结论，因为逆圆和相切性质不变。

剩下的就是证明九点圆的反演是B‘c’。九点圆经过反演中心D(BC侧中点)，所以它的反演是不经过反演中心的直线。所以我们只需要证明B'C '上的两点是九点圆上某两点的反演点。我们真的能找到它。连接D和AC之间的中点E，得到线段DE。然后连接DF。设DE和B'C '的交点为S，DF和B'C '的交点为T，如下图所示。

我们只需要证明

df=dq^2 de=dq^2特区

我们只能详细证明第一个公式，第二个公式同样可以证明。经过计算，有:

DQ=(BC-2CQ')/2

=[a-2(s-b)]/2=(b-c)/2

DE=AB/2=c/2

下面不太好找DS，但是可以先找ES，再从DE中减去ES。

在三角形AB'C '中，ES与AC '平行，所以有

ES/AC ' = B ' e/B ' a =(B ' a-EA)/c =[c-B/2]/c

所以

ES=AC' [c-b/2]/c=b [c-b/2]/c

所以

DS=DE- ES= c/2- b [c-b/2]/c

=(c^2-2bc+b^2)/(2c)

=[(b-c)^2]/(2c)

所以，

DS DE= [(b-c)^2]/(2c) (c/2)

=[ (b-c)^2]/4 = DQ^2

上述公式表明，直线B'C '上的点s是九点圆上的点e的反演点。同样可以证明直线B'C '上的点t是九点圆上的点f的反转点。因此，我们证明了B‘c’是九点圆的倒像。直线B'C '与内切圆和外接圆都相切，这两个圆的逆不变，所以九点圆与内切圆和外接圆都相切。从图中还可以看出，内切圆(绿色)上刻有九点圆(红色)；而外接圆(绿色)与九点圆外切。