二次函数表达式 初中数学二次函数知识点总结，一定要收藏！

一.定义和界定表述

一般自变量x和因变量y之间有如下关系:y = ax ^ 2+bx+c

顶点:y = a(x-h)2+k[抛物线P(h，k)的顶点]

交点:y = a (x-x)(x-x)[只有a(x，0)和b (x，0)与x轴相交的抛物线]

注:在相互转化的三种形式中，有以下关系:

h =-b/2a k=(4ac-b^2)/4a x₁,x₂=(-b √b^2-4ac)/2a

三.二次函数的图像

在平面直角坐标系中作二次函数y = x 2的像，可以看出二次函数的像是抛物线。

四.抛物线的性质

1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线x=-b/2a。

对称轴与抛物线唯一的交点是抛物线的顶点p。特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴(即直线x=0)

2.抛物线有一个顶点P，其坐标为:P(-b/2a，(4ac-b ^ 2)/4a)。当-b/2a=0时，P在Y轴。当δ = b 2-4ac = 0时，p在x轴上。

3.二次系数A决定了抛物线的张开方向和大小。

当a > 0时，抛物线向上张开；当a < 0时，抛物线向下打开。|a|越大，抛物线的开口越小。

4.第一项系数b和第二项系数a共同确定对称轴的位置。

当A和B符号相同(即AB > 0)时，对称轴在Y轴左侧；

当A和B符号不同时(即AB < 0)，对称轴在Y轴的右侧。

5.常数项c决定了抛物线与Y轴的交点。

抛物线和y轴相交于(0，c)

6.抛物线与X轴的交点数量

当δ = b 2-4ac > 0时，抛物线与x轴有两个交点。

当δ = b 2-4ac = 0时，抛物线与x轴相交。

当δ = b 2-4ac < 0时，抛物线与x轴不相交。x的值是虚数(x =-b√b ^ 2-4ac，乘以虚数I，整个公式除以2a)

V.二次函数与一元二次方程

特别地，二次函数(以下称为函数)y = ax ^ 2+bx+c，

当y=0时，二次函数是关于x的一元二次方程(以下简称方程)，即ax ^ 2+bx+c = 0

此时函数图像与x轴是否有交点，即方程中是否有实数根。函数与x轴交点的横坐标是方程的根。

1.二次函数y = ax ^ 2，y = a (x-h) 2，y = a (x-h) 2+k，y = ax ^ 2+bx+c(在所有种类中，a≠0)具有相同的图像形状但位置不同。它们的顶点坐标和对称轴如下表所示

当h >: 0时，将抛物线y = ax 2向右平行移动h个单位，即可得到y = a (x-h) 2的图像，

当h

当h >: 0，k >时；0，抛物线y = ax 2向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到图像y = a (x-h) 2+k。

当h >: 0时，k & lt0，抛物线y = ax 2向右平行移动h个单位，再向下移动|k|个单位，得到图像y = a(x-h)2+k；

当h

当h

因此，通过研究抛物线y = ax ^ 2+bx+c(a≠0)的图像，将通式变为y = a (x-h) 2+k的形式，可以确定其顶点坐标和对称轴，从而明确抛物线的大致位置，为绘制图像提供了方便。

2.抛物线y = ax 2+bx+c (a ≠ 0)的图像:当a >: 0时，开口向上，当a

3.抛物线y = ax ^ 2+bx+c(a≠0)，如果a >: 0，当x≤-b/2a时，y随着x的增大而减小；当x≥-b/2a时，y随着x的增大而增大。如果a

4.抛物线y = ax ^ 2+bx+c的图像与坐标轴的交点:

(1)图像必须与y轴相交，交点坐标为(0，c)；

(2)当△ = b 2-4ac >时；0，图像与x A(x₁is相交于两点A(x，0)和b (x，0)，其中x1和x2是二次方程ax 2+B(x₂+c = 0

两个(a≠0)。这两点之间的距离是ab = | x-x |

△ = 0时，图像与X轴只有一个交点。

△ : 0时，图像落在x轴上方，x为任意实数时，有y >:0；当一个

抛物线y = ax ^ 2+bx+c的最大值:如果a >:0(a & lt；0)，那么当x=-b/2a时，y = (4ac-b 2)/4a的最小(大)值。

顶点的横坐标是得到最大值时自变量的值，顶点的纵坐标是最大值。

6.用待定系数法求二次函数的解析表达式

(1)当给定的条件是已知图像经过三个已知点或已知x和y的三对对应值时，解析式可以设定为一般形式:

y=ax^2+bx+c(a≠0).

(2)当给定的条件是图像的顶点坐标或对称轴已知时，解析表达式可以设为顶点:y = a (x-h) 2+k (a ≠ 0)。

(3)当给定的条件是图像与X轴的两个交点坐标已知时，解析公式可以设置为两个公式:y = a (x-x) (x-x) (a ≠ 0)。

7.二次函数知识很容易与其他知识整合，产生复杂的整合题目。所以基于二次函数知识的综合题是中考的热门题，往往以大题的形式出现。