双曲线的准线准圆→准线（椭圆→抛物线）

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我们先感受一下拟圆画椭圆的动画:【大圆是以F2为圆心的固定圆(半径R固定)，即拟圆的大小和位置不变。移动圆(图中绿色)位于准圆内，始终与大圆内接，并穿过圆内的不动点F1(不失一般性，我们在准圆中心F2左侧，与F1在同一水平线上画不动点F1)。因此，PF1=PT(动圆半径)。因为动圆内接准圆，切点T、动圆心P和准圆心F2在同一直线上，所以TP+PF2=TF2=准圆半径r=一个固定值。最终，从移动点p到两个固定点F1和F2的距离之和PF1+PF2=TP+PF2=固定值，因此移动点p的移动轨迹是椭圆。】

我们来感受一下从准线画抛物线的动画:[准线垂直于横轴且固定的地方。移动圆(图中绿色)始终与准线右侧的准线相切，并穿过准线右侧的固定点F1。动画中的点F2首先忽略它。因此，PF1=PT(移动圆半径)，即移动点p到固定线(准线)的距离等于到固定点F1的距离。根据抛物线的定义，运动点p的运动轨迹是抛物线。】

你能找到它们之间的异同吗？

相似之处是:第一，两种情况下都有一个运动圆，运动圆与物体相切:画椭圆时与固定圆相切(准圆)，画抛物线时与固定线相切(准线)。其次，所有运动的圆都经过固定点。区别在于一个是固定圆(准圆)，一个是固定线(准线)。

但是我们知道，当圆的半径变为无穷大时，圆弧趋近于一条直线。也就是说，一条直线可以看作一个半径无限大的圆。因此，我们在椭圆动画中将准圆的中心F2从F1向无穷远处移动。然后在极限情况下，准圆变成准线，椭圆变成抛物线。这就是椭圆和抛物线的联系！

我们知道，如果把椭圆的内侧想象成一个垂直于椭圆所在平面的圆柱体，圆柱体的内侧是一面镜子，那么从椭圆的一个焦点发出的光会照射到椭圆上，然后被反射，光会照射到另一个焦点上。这里，从F1发射的光线撞击椭圆，然后通过另一个焦点F2反射。我们也知道，如果把抛物线的内部想象成一个垂直于抛物线所在平面的圆柱体，圆柱体的内部是一面镜子，那么从抛物线的焦点(这里是唯一的焦点F1)发出的光就会反射到抛物线上，光就会发射到无穷远处。我们把椭圆的焦点F2移动到无穷远之后，椭圆的焦点F1发出的光穿过椭圆上的点，然后照射到无穷远的点F2上，就变成了使用抛物线时光照射的情况。因此，我们从光路上证明椭圆的极限是抛物线。因此，从拟圆和准线的角度来考察椭圆和抛物线，可以得到统一的视角，对二次曲线有更深的理解。

在这个过程中，椭圆大部分时间还是椭圆，只是大小和圆度不同。圆度体现在偏心度的差异上。在极限情况下，椭圆的偏心接近1，即抛物线的偏心。这里应该强调的是，椭圆的偏心率e可以有无穷多个(0

我们也可以从拟圆画双曲线，如下图动画: 【双曲线比椭圆复杂，请仔细观察动画的全过程。在开始时，中心为p的移动圆与准圆F2外切，并穿过准圆外的固定点F1。此时移动点p画一条双曲线(动画中的右分支)。当移动到一定程度(无穷大)时，移动的圆变成一条通过点F1并与准圆相切的直线(切线)。然后，切线变成圆心在对面的圆。此时圆仍与拟圆相切，但它是内接的(包括拟圆)。同时移动点P跑到“另一边”画双曲线的另一边(左支)。在画左支的过程中，动圆由大变小，再由小变大，直到变成一条直线(另一条准圆切线通过点F1)。然后，切线从反方向变成一个圆。圆心最后移动到起点，双曲线完全画出来的整个过程。】

类似于椭圆情况，我们让点F2远离F1，趋近于无穷大。结果，准圆变成准线，双曲线的一个分支变成抛物线。双曲线的偏心由大变小，趋近于1，即抛物线的偏心为1。尤其是双曲线的偏心率e可以有无穷多个(e >: 1)，而抛物线的偏心率只有一个(e=1)。

如上所述，光线从焦点反射到椭圆或抛物线上。让我们来看看当来自焦点的光线照射到双曲线上时，双曲线是如何运动的。从焦点F1发出的光，照射到双曲线上的点p后被反射，光的方向就好像来自另一个焦点F2(因为从准圆到双曲线的过程中有∠1=∠2=∠3)。如果焦点F2在远离F1的方向上移动到无穷远处，准圆就变成了一条直线，也就是抛物线的准线，双曲线就不再“完整”，它的左支消失了，它的右支变成了抛物线(就像椭圆的情况下椭圆不再是完整的椭圆一样)。

椭圆、抛物线、双曲线都可以看作是连续变化的。设焦点F1为椭圆的定焦，抛物线的唯一焦点或双曲线的定焦。椭圆的焦点F2在远离F1的方向上移动到无穷远处，椭圆变成抛物线。然后这个点F2好像有神奇的力量，从运动轴的另一个方向出现，向焦点F1移动。原来的椭圆，通过瞬时抛物线，变成双曲线。

不同圆度和平整度的椭圆根本不相似，不同偏心度的双曲线根本不相似。但是任何抛物线都是相似的，因为抛物线的偏心率只有一个，总是1。两个不同偏心率的椭圆，无论怎么放大缩小，永远不会重合；双曲线也一样。然而，两个看起来非常不同的抛物线，当它们被放大或缩小时，绝对可以重合。比如下面两个抛物线，开口大，开口小。