皮克定理 互素定理

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今天的讲座非常有趣和重要。互质定理在数论中起着基础作用。我以前讲过如何用连续分数的方法求不定方程px-QY = 1的正整数解，这里解的存在性是自然证明的。今天我要用一种奇怪的方法证明互质定理——用皮克定理。有些新鲜感！

我们来复习一下皮克定理。

皮克定理:对于一个简单的格多边形，它的面积等于内部格点数目(I)加上边界上格点数目(b)的一半，然后减1。即:

例如，我们可以使用上面的公式来找到下图所示的网格多边形的面积。

，不容易使用一般的操作方法。所以一般的皮克定理是启用的。易于计数，其内部格数I =5，边界格数B =4。因此，这个点阵多边形的面积可以从上面的公式中得到:

我们可以用减法来验证这个结果。如下图所示。

因为网格四边形是凹四边形(蓝色)，所以需要加一个三角形(图中绿色)进行计算。具体步骤如下:

先说互质定理。

互质定理:P和Q是互质的两个正整数，所以可以求出两个整数A和B，这样AP-BQ = 1。

证据:

用O(0，0)，M(p，q)和N(b，A)分别代替A，B，C，把它们的坐标代入上式得到

据计算，三角形OMN的面积等于1/2，从而得到互质定理。

我们用一个似乎无关的皮克定理证明了互质定理。太神奇了！其实也启发我们找到一个直观的a和b的方法。

举个例子，我们知道两个互质的数p和q分别是11和13，那么我们实际上求a和b，让AP-bq = 1成立。在有网格点的直角坐标系中，我们用坐标(11，13)(图中红色)标记网格点，把这个点和原点o连接起来，得到一个线段(黑色)，比如m，然后在线段上面找到离线段m最近的网格点。如下图所示。

发现网格点的两个离线线段m比较接近，一个是(5，6)，另一个是(10，12)。仔细观察发现(5，6)更接近。好，我们把(5，6)的坐标代入AP-BQ，得到6× 11-5× 13 = 1的值。所以点(5，6)是满足要求的格点，即a = 6和b = 5是两个满足要求的整数。当然我们可以试一下点(10，12)，发现12× 11-10× 13 = 2不符合要求。无论如何，这种求格点的方法在数值不大的情况下是非常有效的。注意，要找的点必须在线段上方，其下方的点不能尽可能近，因为结果为负，不符合要求。

今天我讲了互质定理。下一期我要证明著名的算术基本定理。请继续关注。