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收敛函数 透彻分析幂级数的和函数

为了帮助你更好地理解幂级数的和函数是什么,边肖将在本文中用一个考研数学真题来讲述它。

1.幂级数和函数考研真题

以下问题是2016届研究生数学真题三题:

边肖稍微修改了一下真题,让我们看看它是否会影响解决问题的过程和步骤。

很多同学可能会认为真正的问题是找到两个东西,一个是收敛域,一个是和函数。而边肖修正的实问题只需要求和函数,不需要求收敛域。那么真的是这样吗?

2.什么是幂级数的和函数?

可能用自然指数的泰勒展开来解释。

为了更清楚地解释和函数是什么,边肖在上述公式的基础上做了一些修改,如下所示:

在这里简化一下,就可以看得很清楚了。当方程右侧的极限存在时,上述方程成立。也就是说,对于变量x的一个特定值,如果方程右边的极限存在,那么上述方程成立。

扩展到x (-∞,+∞)的值区间。对于这个区间内的任意x值,方程右侧的极限是存在的。此时:

从上面的例子可以看出,讨论幂级数的和函数必须以幂级数的收敛域为基础。所以对于第一节的问题,答案是两个题目相同,都是求和函数,收敛域是求和函数的一个分量。也就是说求和函数必须要求有收敛域。之所以要在真题中明确列出收敛域,无非是为了两个目的:一是提醒大家不要忘记标注幂级数的收敛域,二是给幂级数的收敛域多打分。

3.逐项求导和逐项积分

逐项求导和逐项积分是求幂级数和函数过程中经常用到的概念。那什么是逐项导数,逐项积分呢?为什么需要逐项取导数和积分?

所谓逐项求导,逐项积分,就是求函数项幂级数的每个项的求导或积分。

以下两个例子说明了边肖。

逐项推导可能缩小收敛域,但不会扩大收敛域;逐项积分可能会扩大收敛域,但不会缩小。而收敛域的收缩和扩张部分只能出现在级数收敛域的两端。

请看下面这个例子,求导会一个个缩小收敛域:

同样的,反转上面的例子,也是逐项积分扩展收敛域的典型例子。

那么逐项推导和积分的目的是什么呢?

目的是逼近常用函数的泰勒展开式!下面的小系列通过解决考研真题来说明这一点。

4.求解真题

第一节考研真题,先找收敛域。

幂级数的收敛域通常用比收敛法求解,比收敛法既可以看作是缺失项的幂级数,也可以看作是不缺失项的幂级数。具体解决过程如下:

找到幂级数的收敛域后,下一步是对函数S(x)求和。

观察级数的形式,不难发现应该采用逐项求导的方法,具体过程如下:

走到上面这一步,很多人可能会认为,只需要把原级数的收敛域写在S(x)后面就完成了求解,即:

你看到了吗?以上S(x)得不到x=-1和x=1的点,所以这个问题还没解决!

所以接下来要考虑的是,当x=-1,x=1时,原级数会收敛到什么程度。具体回答过程如下:

因此,原级数的求和函数为:

5.求解幂级数和函数通用步骤

边肖把解幂级数和函数的一般步骤画成图1,结合第四节考研题的解法一定要看懂。

图1。求解幂级数和函数的一般步骤

求解幂级数的和函数,首先要找到收敛域。此时根据幂级数是否缺失,用相应的定理求解,用比值收敛法检查缺失项;无漏项收敛半径公式。

第二步是S(x)。在二次过程中,核心是逼近常用函数的泰勒展开。有些幂级数可能直接是常用函数的幂级数,此时可以直接得到。对于复幂级数,常用函数的泰勒展开式可以逐项求导或积分。在逐项求导的情况下,对于最终得到的S(x),需要分析收敛域的端点。

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