为了帮助你更好地理解幂级数的和函数是什么，边肖将在本文中用一个考研数学真题来讲述它。
1.幂级数和函数考研真题以下问题是2016届研究生数学真题三题:
边肖稍微修改了一下真题，让我们看看它是否会影响解决问题的过程和步骤。
很多同学可能会认为真正的问题是找到两个东西，一个是收敛域，一个是和函数。而边肖修正的实问题只需要求和函数，不需要求收敛域。那么真的是这样吗？
2.什么是幂级数的和函数？可能用自然指数的泰勒展开来解释。
为了更清楚地解释和函数是什么，边肖在上述公式的基础上做了一些修改，如下所示:
在这里简化一下，就可以看得很清楚了。当方程右侧的极限存在时，上述方程成立。也就是说，对于变量x的一个特定值，如果方程右边的极限存在，那么上述方程成立。
扩展到x (-∞，+∞)的值区间。对于这个区间内的任意x值，方程右侧的极限是存在的。此时:
从上面的例子可以看出，讨论幂级数的和函数必须以幂级数的收敛域为基础。所以对于第一节的问题，答案是两个题目相同，都是求和函数，收敛域是求和函数的一个分量。也就是说求和函数必须要求有收敛域。之所以要在真题中明确列出收敛域，无非是为了两个目的:一是提醒大家不要忘记标注幂级数的收敛域，二是给幂级数的收敛域多打分。
3.逐项求导和逐项积分逐项求导和逐项积分是求幂级数和函数过程中经常用到的概念。那什么是逐项导数，逐项积分呢？为什么需要逐项取导数和积分？
所谓逐项求导，逐项积分，就是求函数项幂级数的每个项的求导或积分。
以下两个例子说明了边肖。
逐项推导可能缩小收敛域，但不会扩大收敛域；逐项积分可能会扩大收敛域，但不会缩小。而收敛域的收缩和扩张部分只能出现在级数收敛域的两端。
请看下面这个例子，求导会一个个缩小收敛域:
同样的，反转上面的例子，也是逐项积分扩展收敛域的典型例子。
那么逐项推导和积分的目的是什么呢？
目的是逼近常用函数的泰勒展开式！下面的小系列通过解决考研真题来说明这一点。
4.求解真题第一节考研真题，先找收敛域。
幂级数的收敛域通常用比收敛法求解，比收敛法既可以看作是缺失项的幂级数，也可以看作是不缺失项的幂级数。具体解决过程如下:
找到幂级数的收敛域后，下一步是对函数S(x)求和。
观察级数的形式，不难发现应该采用逐项求导的方法，具体过程如下:
走到上面这一步，很多人可能会认为，只需要把原级数的收敛域写在S(x)后面就完成了求解，即:
你看到了吗？以上S(x)得不到x=-1和x=1的点，所以这个问题还没解决！
所以接下来要考虑的是，当x=-1，x=1时，原级数会收敛到什么程度。具体回答过程如下:
因此，原级数的求和函数为:
边肖把解幂级数和函数的一般步骤画成图1，结合第四节考研题的解法一定要看懂。
图1。求解幂级数和函数的一般步骤
求解幂级数的和函数，首先要找到收敛域。此时根据幂级数是否缺失，用相应的定理求解，用比值收敛法检查缺失项；无漏项收敛半径公式。
第二步是S(x)。在二次过程中，核心是逼近常用函数的泰勒展开。有些幂级数可能直接是常用函数的幂级数，此时可以直接得到。对于复幂级数，常用函数的泰勒展开式可以逐项求导或积分。在逐项求导的情况下，对于最终得到的S(x)，需要分析收敛域的端点。
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