什么是代数 什么是代数?

作者基思·德夫林，斯坦福大学教授，原创《什么是代数》。

译者，艾瑞亚，多多数学网翻译团队成员。

我们经常听人说孩子在中学阶段掌握代数有多重要，但是代数是什么，真的有人们声称的那么重要吗？为什么那么多人觉得代数难学？

回答这些问题比回答一个普通的代数习题容易。令人惊讶的是，几乎没有人能给出一个满意的答案。

首先，代数不是“字母的算术”(咏叹调:其实中学时翻译都是这么想的)。在最基础的层面上，算术和代数是思考数字的两种不同方式。我必须强调，我关注的是这篇文章里学校学的算术和代数，数学家们通常用它们来表达一些比较一般的概念。)

先说算术。她原本的意思是用加减乘除来计算各种数值问题，这是数学中最古老的部分，起源于大约一万年前的苏美尔(大概是今天的伊拉克)。苏美尔社会已经到了用金钱衡量财富和交易商品的阶段。其他货币符号最终让位于粘土片上的抽象雕刻(现在我们认为这是最早的数字)。随着时间的推移，这些符号逐渐获得了自己的意义:数字。换句话说，数字最初是以货币的形式产生的，而算术是货币交易的一种方式。(咏叹调:今天的情况其实也差不多吧...)

需要注意的是，计数把数字和算术的使用提高了数万年。骨头上的刻痕证明，人类至少在35000年前就开始计数了(大多是计数家庭、动物、季节、财产等)。)，而人类学家认为他们所刻的就是今天所谓的“数据记录”。但是这些古人没有数字，也没有证据表明他们有什么算术。这些刻痕本身只是记录，它们直接代表的是这个世界上的东西，而不是抽象的数字。

另外，算术不一定要像学校教的那样通过符号运算来完成。现代方法是在几个世纪之后发展起来的。它们在千年的上半叶出现在印度，并在下半年被阿拉伯语商人接受和采用。它们直到13世纪才传入欧洲(因此，这种算术现在被称为“印度-阿拉伯算术”)。在采用这种基于符号的印度-阿拉伯算术之前，商人使用非常复杂的手指计数或计数板(用可移动的珠子在板上画线；艾瑞亚:听起来有点像算盘。算术书描述了如何用文字进行计算，直到15世纪，符号运算才开始成为主流。

虽然很多人觉得算术很难学，但我们大多数人都掌握了这一技能，或者至少在足够的练习下失败了。之所以能从她身上学到东西，是因为算术大楼的基础材料数字自然而然的出现在我们身边:当我们数数东西，测量东西，买东西，做小制作，打电话，去银行，查垒球比赛的分数等等。数字可能是抽象的——你从未见过、感觉到、听到或闻到过数字“3”——但数字与我们生活的世界中的真实事物密切相关。

至于代数，你的思维一定要和我们的日常生活进一步分离。在代数中，你学习处理的“x”和“y”代表数字，但这是一个广义的“数字”，而不是具体的数字。人脑不会自然适应这种抽象层次，因此需要相当大的努力和训练。

你要意识到代数是一种思维方式，和算术不一样。那些带x和y的公式和方程，只是纸上这种思维的表达。它们代表代数，并不比用音符表达音乐好多少。不用符号就可以做代数，就像不用熟练的读谱就可以弹奏乐器一样。

事实上，在16世纪符号形式普及之前，商人和其他有需要的人已经使用了3000年的代数(这种早期的代数被称为修辞代数，不同于今天普遍使用的符号代数)。这里有几个方法可以帮助你理解算术和代数的区别:

首先，代数涉及的是逻辑思维而不是数值思维

在算术中，你“使用”数字的计算来思考；在代数中，你用“关于”数字的逻辑来思考

算术包括数字的定量推理；包含数的代数定性推理

在算术中，你用一个已知的数去计算另一个数；在代数中，你引入一个未知的数，用逻辑来确定它的值

以上区别应该会让你更清楚地认识到，代数并不是用一个或多个字母来表示已知或未知的数字来做算术的。

比如用求一元二次方程根的公式来计算一元二次方程的根，不是代数，而是算术。

反之，首先推导出求一元二次方程根的公式是代数。用标准配点法和因式分解代替公式求解二次方程也是代数。

当学生开始学习代数时，他们不可避免地使用算术思维来解决问题。考虑到他们都努力学过算术，这很自然，而且刚开始遇到的代数题都挺简单的(这是给老师的)，这个方法真的很管用。

事实上，一个学生的算术思维越强，他就能在代数上走得越远。比如很多同学可以用简单的算术来解二次方程:x2；=2x+15，完全没有代数。

奇怪的是，或者就像看起来的那样，成绩越好的学生觉得代数越难学，因为对于代数学习来说，除了最基本的例子，学生必须放弃算术思维，才能开始代数思维。

掌握代数思维值得花力气吗？当然——相信你在历经艰辛掌握了大部分学校代数课本的知识之后，就会得出这个结论。当今世界，对于大多数人来说，掌握代数思维真的很有必要。例如，如果你想像微软的办公软件EXCEL那样在电子表格中写一个宏来计算网格中的项目，你需要代数思维。单单这个例子就能很清楚的解释为什么现在学校数学教学的目标是代数，而不是算术。在电子表里，你不用做算术，电脑自己就能做，而且比人计算的更好更快。用户真正需要做的是首先创建一个电子表格——计算机不会为你做这件事。

无论是用你的电子表格来计算体育比赛的分数，跟踪你的财务，经营公司或者俱乐部，还是计算魔兽世界(暴雪出品的网络游戏，曾经玩家最多，中国网易为代表)中你的角色最好的装备，你都需要用代数的方法去思考如何打造你想要的东西。这意味着你必须使用广义数而不是具体数。

当然，代数的需要并不能让学习代数变得容易——尽管我认为电子表格比火车出站和游泳池放水的问题(我们这一代人确实遇到过的问题)对今天的学生来说更有意义，也是一个很好的应用。在当今世界，一个国家的生计依赖于领先的科学技术，对我们的学生来说，拥有世界所需的思维是非常重要的。学习使用电脑就是这些技能之一。但是，使用计算机进行计算需要用户的代数思维。

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