【电梯球】关于电梯球的简化理想模型

“梯队是足球比赛中进球的技巧，与落叶、香蕉球有本质区别。特别是指选手利用脚背内侧旋转的小，但球突然落在球门前的“S型”任意球。

        这里暂且先不去考虑电梯球的飘忽不定，主要考虑由于空气阻力导致的快速下坠。

      “在空中运动的物体，受到空气的阻力，在空气中如果速度低于2.5 M（马赫），基本上认为其阻力f与阻力系数k横截面积S速度v成正比 （f=kSv），这时k一般可取为2.937。当其在空气中如果速度高于2.5 M（马赫），由于空气的摩擦， 开始出现气动加热现象。其空气阻力可视为f=(1/2)CρSV^2”——摘自百度百科“空气阻力”词条

       我们知道，1马赫是指1倍音速。马赫的大约速度换算一般认为相当于340.3 m/s，又大约等同于1225 km/h。即视为等于声音在15摄氏度（59华氏度，288.15开氏度）的空气中传播的速度。因而2.5马赫相当于850.75m/s，3062.7km/h。而历史上有记载的足球球速最高记录为2006年12月的葡萄牙联赛中，里斯本竞技的罗尼打进一个任意球，西班牙媒体称时速达到了222公里。所以正常情况下的足球球速应该是远不及2.5马赫的，因此我选择以空气阻力与速度v成正比的模型来计算（如果是f∝v²我反正是也算不出来，靠计算机模拟吧…）。

        查阅相关材料得知，足球的圆周不得多于71厘米或少于68厘米。球的质量，在比赛开始时不得多于453克或少于396克。那么我就取球的圆周为70厘米(相当于横截面积为0.039平方米)，质量为420克。再令v1为水平方向初速度，v2为竖直方向初速度。

        解一解简单的微分方程，可以得到：

x(t)=mv1×(1-e^(-kSt/m))/kS

y(t)=m(v2+mg/kS)×(1-e^(-kSt/m))/kS-mgt/kS

        消参后得到:

y=(v2+mg/kS)x/v1+m²gln[1-kSx/(mv1)]/(kS)² 

        然后用软件画出图象，如下图，各参数选取数据在上下文有提到。

        FIFA国际足球场足球比赛球门的高度即横梁的下沿至地面的距离h应是2.44米，两根球门柱和横梁具有不超过12厘米（5英寸）的相同的宽度和厚度，球门底线宽度不超过12厘米。设球的摆放位置与球门距离为d(图中d=27.5m，参考了曼联时期C罗的一次电梯球破门——AV18934523)。

        下图中我画出了不考虑空气阻力情况下的足球轨迹，对比起来看，足球在大约16米左右也就是半程之后开始了下坠趋势。所以本以为足球会高出球门一大截飞出的门将在意识到端倪的时候，也已经来不及了，再加上现实中电梯球可能出现的变线，这或许就是当时电梯球无解的原因吧。

        当然，这个模型其实是生活中许多情景的经典模型，在这种情况下，初速度大小v相等而想要达到最远射程抛射角θ也就并非是45°，而可以通过下面的超越方程求解：

m²g²{1+[1+kSv/(mgsinθ)]ln[1+kSv/(mgsinθ)]}=k²S²v²+m²g²[1+kSv/(mgsinθ)] 

       说了这么多，想要踢好电梯球也不是单单靠计算可以做到的，掌握好技巧，勤加练习，熟悉触球位置，方式，力道，身体如何跑动，这才是王道。(＊￣︶￣＊)