黎曼和 素数之魂--黎曼和他的伟大猜想

也许在很多人眼里，数学是一门枯燥的学科，而数学家是一群性格古怪无趣的人。但其实聪明的人往往不是真的无聊，数学家也是。除了他们在计算方面的勤奋，他们也给我们留下了许多独特的幽默。

三个半世纪后，费马大猜想解决了这个问题，

哥德巴赫推测，在站立了超过两个半世纪之后，

黎曼猜想离仅有一个半世纪的记录还很远，但它的数学重要性远远超过这两个公众意识更高的猜想。

黎曼猜想是当今数学界最重要、最期待解决的数学难题。

黎曼(1826-1866)是历史上最富想象力的数学家之一

一个

2000年5月24日，克莱数学研究所在法国巴黎召开数学大会。在会上，与会者列出了7道数学题，并做出了一个耸人听闻的决定:

为每个问题设立100万美元的巨额奖金。

1900年，在这次会议的一百年前，也是在巴黎的一次数学会议上。德国数学大师希尔伯特也列举了一系列数学问题。那些问题没有得到任何加分，却对后世数学的发展产生了深远的影响。

这两个相距一个世纪遥相呼应的数学大会，除了是在巴黎召开的以外，有一个共同点，就是在列出的问题中，有一个也是唯一一个难题是共同的。

那个问题就是黎曼猜想。

黎曼猜想，顾名思义，是由一位名叫黎曼的数学家提出的，他于1826年出生在当时属于汉诺威王国的一个叫布雷·斯伦茨的小镇上。1859年，黎曼当选为柏林科学院通信院士。作为对这一崇高荣誉的回报，他向柏林科学院提交了一篇题为“关于小于给定值的素数个数”的论文。这篇短短八页的论文是黎曼猜想的发源地。

黎曼的论文研究了一个数学家长期感兴趣的问题，即素数的分布。

质数是像2，5，19，137这样的数，除了1和它自己，不能被其他正整数整除。这些数在数论的研究中非常重要，因为所有大于1的正整数都可以表示为它们的乘积。从某种意义上说，它们在数论中的地位类似于用来构造物理世界中一切的原子。素数的定义很简单，中学甚至小学都可以教，但是它们的分布是如此的神秘，数学家们已经做了很大的努力，但是他们还没有完全理解。

黎曼论文的一个主要成果是发现素数分布的奥秘完全在于一个特殊的函数——特别是使那个函数的值为零的一系列特殊点对素数分布的详细规律有决定性的影响。那个函数现在叫做黎曼ζ函数，一系列特殊的点叫做黎曼ζ函数的非平凡零点。

有趣的是，虽然黎曼文章的结果意义重大，但文本极其简洁，甚至过于简洁，因为它包含了很多“省略证明”的地方。

麻烦的是“省略证明”本来应该用来省略显而易见的证明，但黎曼的论文却不是这样。他的一些“省略证明”的地方，是用了后来数学家几十年的努力才完成的，有些直到今天还是空白色。

在希尔伯特难题中，黎曼猜想排名第八

2

为什么黎曼省略了那么多不明显的证明？

也许是因为他们对他来说真的很明显，或者是因为他不想花太多时间写文章。但有一点基本可以肯定，那就是他的“证明省略”绝不类似于调皮学生乱搞考试的做法，而且很可能错误的证明是正确的并不是盲目乐观——后者在数学史上有很多先例，比如，

法国数学家费马写费马猜想的时候，他说“我找到了一个真的很优秀的证明，可惜空白处太窄，写不下来”，这基本上已经被数学界公认为盲目乐观，认为错误的证明是正确的。因为后来人们从黎曼的手稿中发现，他在许多简短的证明上做了扎实的研究，而且研究水平很高，即使过了几十年，也是整理出来的，往往还具有很大的领导力。

费马

但黎曼的论文中包含了一个他明确承认无法证明的命题，这就是黎曼猜想。

那么，什么是黎曼猜想呢？

简单来说就是关于黎曼ζ函数非平凡零点的猜想，对素数分布的详细规律有决定性影响。至于非平凡的零点，只有一个结果很容易证明，就是它们都分布在一个带状区域。但黎曼认为它们的分布比这个容易证明的结果要均匀得多，他猜测它们都位于带状区域中心的一条直线上，这就是所谓的黎曼猜想。这条线，假设包含黎曼ζ函数的所有非平凡零点，称为临界线。

黎曼推测，自1859年诞生以来，已经过了150多个春秋。这期间就像一座巍峨的山，吸引了无数数学家攀登，却没有人能爬到山顶。

当然，如果只在时间上比较的话，黎曼猜想的这个记录在三个半多世纪后还远远没有被解决，与屹立了两个半多世纪的哥德巴赫猜想相比。而黎曼猜想在数学上远比这两个公众意识更高的猜想重要。

据统计，目前的数学文献中有1000多个数学命题，其前提是黎曼猜想(或其推广形式)。如果黎曼猜想被证明，那么那些数学命题都可以推广为定理；反之，如果黎曼猜想被推翻，至少那些数学命题中的一部分会被埋没。一个数学猜想和这么多数学命题联系紧密的情况极其罕见。

黎曼论文手稿

三

然而，尽管数学家们攀登这座黎曼猜想的巍峨山峰的努力至今没有完全成功，但他们在这个过程中也取得了一些阶段性的成果，比如建立了几个营地。

第一阶段成果出现在1896年，黎曼猜想问世三十七年后。

如前所述，关于黎曼ζ函数的非平凡零点，只有一个结果可以很容易证明，那就是它们都分布在一个带状区域。阶段性成果是什么？也就是说黎曼ζ函数的非平凡零点只分布在带状区域内，不包括边界。这一成就是由法国数学家哈达玛和比利时数学家普桑独立给出的。

乍一看，这似乎是一个微不足道的成就。与内部相比，带状区域的边界实际上面积为零。但不要小看这一成果，它只是研究黎曼猜想的一小步，却是研究另一个数学猜想的一个巨大飞跃，因为它直接导致了后者的证明。那个数学猜想现在叫做素数定理，描述了素数的大规模分布规律。素数定理自提出以来，已经悬而未决了100多年。这在当时是数学界比黎曼猜想更期待的事情。

18年后的1914年，丹麦数学家玻尔和德国数学家朗道取得了另一个阶段性成果，即证明了黎曼ζ函数的非常零点在临界线附近趋于“紧密统一”。在数学语言中，这个结果意味着无论包含临界线的带状区域有多窄，几乎都包含黎曼ζ函数的所有非平凡零点。但是，“紧统一”属于“紧统一”，但这个结果不足以证明任何零点都只是在临界线上，所以离黎曼猜想的要求还很远。

能吃苦耐劳的

但在同一年，另一个阶段性的成就出现了:

英国数学家哈代终于在临界线上插上了“红旗”——他证明了黎曼ζ函数在临界线上有无穷多个非平凡零点。乍一看，这似乎是一个严重的结果，因为黎曼ζ函数的非平凡零点总共是无穷的，而且哈代已经证明了无穷多个零点位于临界线上，这在字面上是一样的。可惜的是，无穷在数学上是一个很微妙的概念，也是无穷，但不一定是彼此相同的东西，不仅不一定是相同的东西，还可以是需要多远就多远，甚至是无限远！所以，为了知道哈代的结果离黎曼猜想还有多远，我们需要更具体的结果。

那个具体的结果出现在七年后的1921年。

那一年，哈代与英国数学家李特·伍德合作，对七年前他自己的结果进行了一次具体的“无限数”估计。那么，根据这个具体的估计，临界线上的“无穷多个非平凡零点”相对于所有非平凡零点占多大的百分比呢？答案可能会出乎读者意料的受挫:0%！

21年后的1942年，数学家们将这个百分比推至一个大于零的数字。那一年，挪威数学家塞尔伯格证明了百分比大于零。

塞尔伯格是在二战硝烟弥漫欧洲的时候取得这一成就的，他在挪威奥斯陆的大学几乎成了孤岛，连数学期刊都无法投递。但塞尔伯格并不在乎，他说，“这就像在监狱里，你与世隔绝，但你显然有机会专注于自己的想法，而不会被别人的行动分散注意力。从这个意义上说，我认为那种情况对我的研究有很多好处。”。他善用“诸多有利方面”，独自进行了“一人之战”，最终取得了成效。他的成果如此引人注目，以至于玻尔开玩笑说，整个欧洲战时的数学新闻可以用战后的一个词来概括，那就是塞尔伯格。

塞尔伯格塞尔伯格

然而，尽管塞尔伯格证明了百分比大于零，但他在论文中没有给出具体的值。塞尔伯格之后，数学家们开始研究这个比值的具体值，其中美国数学家列文森的成就最为显著，他证明了至少34%的零点位于临界线上。

列文森在1974年取得了这一成就，当时他已经60多岁，即将结束生命(第二年去世)，但仍然固执地从事数学研究。继之后，这方面的进展变得非常缓慢，有几位数学家为了百分比的第二位数字大做文章，包括中国数学家楼、(1980年证明了至少35%的零点位于临界点上)。直到1989年，才有人动摇了百分比的第一位数字:美国数学家布赖恩·康-雷伊(Brian Con-rey)证明了至少40%的零点位于临界线上。这也是这方面最强的结果——也是整个黎曼猜想研究中最强的结果。

另外值得一提的是，金字招牌“黎曼猜想”后来被引申为表达“山寨版”和“豪华版”的一些猜想。为什么那些猜想可以和黎曼猜想共享招牌？

那是因为他们和黎曼猜想有很大的相似性，比如他们都有一个类似黎曼ζ函数的函数，这个函数有类似黎曼ζ函数的性质，等等。在那些猜想中，“豪华版”的黎曼猜想比黎曼猜想更强(即黎曼猜想被列为特例)，而黎曼猜想和黎曼猜想一样，尚未被证明(这是显而易见的，否则黎曼猜想将被证明)。但是，“山寨版”的黎曼猜想都被证明了。

抛开我们不愉快的绰号不谈，他们的证明都是数学上的重要成果，不仅催生了新的数学方法，还获得了数学最高奖——弗斯奖。而且黎曼猜想的“山寨版”，作为唯一一个有着黎曼猜想金字招牌的猜想，曾经让人们看好了黎曼猜想，这个猜想是不能长久攻击的。不幸的是，攻击玉并不总是可能的。从目前的情况来看，黎曼猜想的“山寨版”可以在“山寨”里玩。虽然他们的证明很重要，但对解决真正的黎曼猜想没有实质性的启示。

刻有铭文的黎曼墓碑

四

也许在很多人眼里，数学是一门无聊的学科，而数学家是一群无聊的怪人。但其实聪明的人往往不是真的无聊，数学家也是。除了他们在计算方面的勤奋，他们也给我们留下了许多独特的幽默。

匈牙利数学家保利亚曾经讲过一个关于黎曼猜想的小故事。故事的主角是前面提到的英国数学家哈代和丹麦数学家玻尔。两个在黎曼猜想研究上有成绩的数学家，当然都对黎曼猜想感兴趣。

有一段时间，哈代经常利用假期去拜访玻尔讨论黎曼猜想，直到假期结束才匆匆赶回英国。结果，当哈代不得不再次赶回英国时，他不幸发现码头上只剩下一艘船了。从丹麦到英国，要穿越几百公里宽的北海。在茫茫大海中坐船可不是闹着玩的。得不到，就得死在鱼肚子里。为了一路平安，大部分信上帝的乘客都在忙着祈求上帝的保佑。而哈代则是一个坚决不信上帝的人，不仅不信，甚至还故意反对上帝，包括向公众证明上帝不是作为他某一年的一个年度愿望而存在的。然而，哈代在生死之旅之前并没有闲着。他给玻尔寄了一张简短的明信片，上面只写了一句话:“我证明了黎曼猜想”。

哈代真的证明了黎曼猜想吗？当然不是。他为什么要发这样的明信片来忽悠同事？当他安全到达英国时，他向玻尔解释了原因。他说，如果他所在的船真的沉了，那文字就会变成死无对证，人们就不得不相信他真的证明了黎曼猜想。但是，他知道，上帝绝不会心甘情愿地让一个坚信上帝的人获得如此巨大的荣誉，所以他绝不会让船沉下去。

哈代以他的幽默成为故事的主角，而一些数学家则因为其他数学家的幽默而被动成为主角，比如前面提到的法国数学家哈达玛和比利时数学家普桑。这两个人成为主角的原因恐怕你猜不到，因为他们的长寿:哈达玛活到了98岁，普桑活到了96岁。不知道这两个令人羡慕的时代是从什么时候开始触发一个传说的，就是如果有人能证明黎曼猜想，他就能永生——不是抽象意义上的永生(这是毫无疑问的)，而是现实意义上的永生(也就是不死)！但这个传说似乎与玻尔和朗道没有关系，他们的研究成果比哈达玛和普桑好得多，所以至少应该是百岁老人。结果呢？朗道只活了61岁，玻尔才63岁。

可能是意识到这个传说漏洞太大，数学家和幽默指向了另一个方向:

波兰出生的数学家奥德里兹科提出了一个完全相反的说法，那就是谁证明了黎曼猜想，谁就马上死！奥德里兹科甚至开玩笑说，黎曼猜想已经被否定了，但那个否定黎曼猜想的倒霉蛋还没来得及发表文章就死了。

当然，这些只能作为饭后的谈资，不应该当真。但是，一件极其困难的事情，对投入过多的人产生健康影响，也不是不可能的。数学界确实有人推测，黎曼猜想的极端困难可能影响了个别数学家的健康。

纳什

比如美国数学家纳什，通俗传记《美丽心灵》的主角，50年代后期研究黎曼猜想，不久就患上了精神分裂症。纳什生病的原因一般认为是他参加军事工作造成的心理压力，但也有人认为他像黎曼猜想那样轻率地啃坚果，可能促成了他病情的发展。

五

黎曼猜想可以说是当今数学领域最重要的数学猜想，是数学家们最期待解决的问题。美国数学家蒙哥马利曾经说过，如果一个魔鬼答应数学家用自己的灵魂去换取一个数学命题的证明，那么大多数数学家想要交换的将是黎曼猜想的证明。

在探索黎曼猜想的过程中，很多数学家一度信心满满，但渐渐被其难度所动摇，态度转向悲观。前面提到的李特·伍德就是一个例子。学生时代，导师顺手给他写了黎曼ζ函数，让他暑假研究它的零点位置。初出茅庐的李特·伍德也被带走了。后来他和哈代真的在这方面做出了成绩。但渐渐地，他的态度变了，甚至说:“如果我们能坚定地相信这个猜想是错的，生活会更舒适”。

曾经在“山寨版”黎曼猜想研究方面取得成就的法国数学家魏易，也有过类似的态度转变。当他在黎曼猜想“山寨版”的研究上取得成果的时候，和其他一些人一样，他曾经点燃了解决黎曼猜想的信心，说如果他证明了黎曼猜想，他会故意把发表日期推迟到猜想100周年(即1959年)——暗示他最迟能在1959年解决黎曼猜想。然而，岁月渐渐消磨了他的乐观。晚年，他向一个朋友承认，他有生之年不太可能看到黎曼猜想的解。

就连本文开头提到的德国数学大师希尔伯特，在对黎曼猜想的看法上，也经历了从乐观到悲观的转变。希尔伯特在1919年的一次演讲中说，他有望看到黎曼猜想的解，但他的态度转向了悲观。

据说曾经有人问过他:如果500年后他还能重返人世，他最想问的问题是什么？他回答说，他最想问的是:有人解决了黎曼猜想吗？

本文转载自微信微信官方账号“数学与人工智能”

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