自然数e 自然常数e为什么这么重要?

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我们知道，自然界中有一些非常重要的常数，比如0，1，I，π，E等。，它们的存在极大地影响了我们的学习和生活。今天，我们将深入挖掘为什么自然常数E如此重要。

自然常数e是多少？

在回答为什么自然常数e如此重要之前，我们首先要问，什么是自然常数e？一个简单的搜索就可以发现，百度百科是这样解释的:

自然常数是数学定律。约为2.71828，即公式为lim(1+1/x)x，x→∞或

Lim(1+z)1/z，z→0是无限无环小数，是超越数。

这个解释给人的感觉是很高(庄)，对于不擅长数学的人，只能用下面的反应来形容:

(3)如果我们要求每月结息一次，由于一个月的利率是1/12，一年后本金和利息都可以得到2.61元。

(4)可以看出，结息次数越多，年末获得的收益越多。如果我们敞开心扉，要求银行一直为我们结息，也就是说结息的次数数不胜数，能否获得源源不断的收入，实现数钱填饱肚子的梦想？

数学家的计算表明，这个公式的值其实是有限的，大小是2.718281828…，是一个无限无环十进制。为了使用方便，我们用E来表示。所以E是复利的极限，或者更广义的说，应该是增长的极限。

ex和lnx为什么这么常见？

但是，即使我明白了自然常数e是什么，由于我被高等数学期末考试和研究生考试滥用，还是会出现以下问题:

E不是成长的极限吗？为什么不测试一下我的极限呢？测试我关于ex和lnx的导数积分是什么意思？

回头看前面的数据，发现这里涉及到这两个函数的特殊性质。

首先是指数函数。众所周知，指数函数在我们的现实世界中起着重要的作用(虽然我感觉不到)，所以我们不可避免地需要对指数函数做导数运算。

指数函数y=ax的导数为

可以看出，想要得到y=ax的导数，需要得到后一个极限，但如果直接做△x→0，则得不到极限。我该怎么办？这里我们换个思路，设a△x-1=1/n，那么就有△x=loga(1+1/n)，这个时候就有了

另外，为了区分关于e的对数函数和其他对数函数，人们甚至给它取了另外一个名字，叫做自然对数，简单写成y=lnx，充分凸显了自然对数的重要性。

这时候可能有人会问，我要用y=2x还是y=log2x呢？没关系，我们可以给它全容量，改成y=exln2或者y=log2elnx，计算方法本质上没有改变。

ex和lnx的现实意义

通过上面的分析，我们可以看到关于E的指数函数和对数函数的引入，是因为它们对应的导数具有极其简单的形式。欧拉等大数学家有没有预测到我们现在的考试压力太大，为了让我们考试时更容易进行导数计算，引入了自然常数E？所以…我从来没有觉得自己这么重要！

我们已经知道，导数等于自身的函数是y=et。但由于右边有一个比例常数L，我们可以假设人口数Y随时间T的变化规律符合y=aebt+c(a≠0)的一般关系，因而有

可以发现，要使左右两端相等，需要c=0，b=l，所以种群数量的变化规律符合y=aelt。我们知道，在现实中，资源不可能是无穷无尽的，人口数量也不可能是无限增长的，但上述规律为我们研究某个人口数量在前期的变化提供了一个很好的近似值。

此外，放射性核素的衰变也符合上述规律。放射性核素的衰变率与当前放射性核素的数量n有关，即有

最终会导致放射性核素数量发生符合n = n0e-lt的变化。

弹簧振子的运动

我们已经知道x=et的导数等于自身，所以可以进一步知道它的二阶导数、三阶导数甚至更高阶导数仍然是自身。所以这里当然还是可以假设x=aebt+c(a≠0)，这样就有了

可以发现需要c=0和b2=-k/m才能使左右两端相等，即，

因此，弹簧振子的运动符合

可以看出，在引入了关于E的指数函数和对数函数之后，现实中的许多问题都得到了成功的解决。当然，除了上述问题，还有一些问题，比如LC振荡电路、原子轨道等。要解决这些问题，必须引入自然常数E。所以，自然常数E的引入是人类认识自然现象的必然选择，反之，自然常数E对人类文明的发展也有很大的影响。在这里，我们不得不佩服那些有着深刻见解，大胆引入自然常数e的数学先驱们。