【ds为什么等于adt】量子力学之路——坚实的数理基础至关重要，没有捷径可走

要理解量子力学，要走很长的路，没有捷径。

在本系列中，我将从头解释（介绍）量子力学。

“量子（quantum）”这个词的意思是“数量”。当用作名词时，它指的是某一物理量的最小离散量。离散本质是量子力学的核心。

为什么量子力学这么难？

这种离散性给许多试图学习量子力学的人造成了巨大的障碍。而且，在很多情况下，为了解释量子力学，一些人会牺牲（量子力学的）准确性，甚至使用错误的表述；一些科幻作家们为了编造故事而“破坏”了量子力学的规则，从而误导大众。

这种出于任何目的而牺牲准确性的解释，导致了大众对量子力学的许多误解。试图学习量子力学的人必须花相当多的时间来忘记公众对量子力学的认知。

本系列的目标

我想把量子力学的思想和量子力学联系起来。我将为本系列中提到的所有主题提供一个一致、连贯和严格的框架。我希望你不仅能够理解量子力学，而且能在数学和物理领域打下坚实的基础。

本系列涉及的主题

1. 运动学与牛顿力学综述。
2. 如何利用数学工具建立偏微分方程来模拟物理现象。
3. 如何解偏微分方程。
4. 本征值和本征函数。
5. 经典的拉格朗日力学。
6. 经典哈密顿力学。
7. 电磁学。
8. 经典光学，专注于波，衍射和干涉。
9. 量子力学的开端：紫外突变，光电效应，谱线的离散性质，和弗兰克-赫兹实验。
10. 德布罗意关系和波函数的解释。
11. 量子力学中几个基本算子的推导及薛定谔方程。
12. 为简单系统和氢原子解薛定谔方程。
13. 测不准原理。
14. 波函数坍缩。
15. 如何处理无法用分析方法解决的系统。
16. 散射。

其中一些主题将用多篇文章专门讨论。我还将介绍一些没有在这里列出的主题（如天体力学）。我甚至可以添加一些更高级的主题，如相对论量子力学，场论，或固体力学。

预备知识

本系列有几个困难的先决条件：

• 代数：为了解决本系列中的问题，需要能够运算符号，这就需要遵循代数的规则。
• 微积分：宇宙的定律是用导数和积分来表示的。
• 微积分I和II：宇宙的定律是用导数和积分来表示的。
• 多元微积分（ III）：微积分I和II只适用于一维或二维空间。我们生活在一个四维时空中，物理定律必须尊重这一点。我会试着解释像梯度，散度，旋度等概念，以及它们是如何进入物理学的，这要用到多元微积分。

除了以上的先决条件之外，还有一些软先决条件可以帮助你更好地理解我所说的内容。

• 微分方程和偏微分方程：我将解释如何建立和解这些微分方程。
• 线性代数。不必多说。
• 概率与统计：量子力学本质上是概率的。

经典力学

要理解量子力学，我们必须先理解它的前身和它的对立面——经典力学。出于这个原因，我要花很多时间来讨论经典力学中出现的东西。这样，我们就可以通过比较和对比我们对经典力学的理解来理解量子力学。

经典力学的目标

让我们从经典力学的基本目标开始：

给定一个（组）物体，这个（组）物体的质量及其受力信息，以及给定时间的位置，速度，就能预测物体在之后一段时间的位置。

在实践中，我们通过建立和求解一组微分方程，即运动方程来实现这一点。

位置

我们的目标是计算物体的位置（作为时间的函数）。此外，由于加速度和速度是基于位置的，我们应该从位置开始。为了定义一个位置，我们需要定义一个坐标系。

坐标系

一个坐标系用一组坐标和一些约定来描述空间中的一个点。描述一个点所需要的坐标数被称为坐标系统的维数。我们生活在三维空间中，所以需要3个坐标来描述一个点的位置。通常，我们先选择一个“基准点”，然后用这个“基准点”定义其它坐标。这个“基准点”就是原点。例如，在笛卡尔坐标系中，通过测量一个点到坐标系的每个轴的距离来描述一个点，这些轴是穿过原点的一组垂线。

我们也可以用球坐标或极坐标来描述一个点。在二维空间中，可以用极坐标来测量方向（用角度表示）。

在三维空间中，我们可以使用球坐标来测量两个角度的方向：纬度(θ)和经度(φ)。我们称这个坐标系为球面，因为如果保持半径不变，让θ和φ变化，就得到一个球面。

最后，在三维空间中，我们可以使用笛卡尔坐标和极坐标的混合，称为柱坐标。我们称这个坐标系为圆柱，因为如果保持径向坐标ρ不变，让φ和z变化，将得到一个圆柱。

坐标转换

通常，你会想在一个坐标系中解决一个问题，然后在另一个坐标系中给出结果。有时候，你甚至会想要使用一些坐标系的混合。在任何一种情况下，都需要一些方法来从一个坐标系转换到另一个坐标系。让我们首先关注两个主要的2D坐标系：笛卡尔坐标系和极坐标。首先，我们把极坐标转换成笛卡尔坐标。有一个点(ρ， φ)看起来像这样

用基本的三角学知识，可以得到：

为了从笛卡尔坐标过渡到极坐标，我们用勾股定理求径向坐标，用arctan函数求角坐标。

柱坐标和极坐标很像，但是是z坐标。因此，它使用与上面相同的转换。将球坐标转换成笛卡尔坐标要复杂一些。你可以自己试着推导。

向量

从最简单的意义上说，向量是一个既有方向又有大小的量。如果我们选择一个原点和坐标轴，就可以把位置、速度、加速度等描述为一个矢量。这样，我们可以用向量作为独立于坐标系的对象来做线性代数。

基向量

虽然以(x, y, z)或(r， θ， φ)的形式表示坐标对于表示位置是很好的，但我们可以通过以基向量的形式表示来使数学（例如向量加法、点积、叉积等）变得更容易。这些基向量用一个带小帽子的坐标符号表示。

每个基向量表示一个点的移动方向，如果你将其对应的坐标值增加一个无限小的量。因为方向没有长度，所以我们必须将结果除以矢量的长度（称之为大小）。在数学上，我们将这个概念表示为

其中s表示位置，q表示任意坐标，|v|表示矢量v的大小。

基向量的时间导数

根据定义，笛卡尔基向量不会改变，但是其他的基向量会改变。为了弄清楚它们是如何变化的，我们可以把其他的基向量写成笛卡尔基向量的形式。例如，通过在笛卡尔坐标系中展开基向量，我们可以求它们的时间导数，然后用多变量链式法则来表示坐标的变化。

• 第一行是笛卡尔基向量，是常数。接下来的几行是求基向量ρ的时间导数的所有步骤。对于φ基向量，我跳过了很多中间代数。

速度

根据定义，速度是位置对时间的导数。为了求出速度，我们可以对每个坐标系中位置的时间求导。在笛卡尔坐标系中，有

这很简单，因为基向量是常数。在其他坐标系中，基向量会随着位置和时间而变化。在柱坐标中，有

加速度

根据定义，加速度是速度对时间的导数。加速度包括加速、减速和改变方向。同样地，加速度是位置对时间的二阶导数。在笛卡尔坐标系中，加速度很简单，因为基向量不会改变。

在柱坐标系中，我们必须考虑基向量的变化。

正如你所看到的，在非笛卡尔坐标系中，求加速度很繁琐。

点符号

我不知道你们怎么想，但是我有点厌倦了写这些d/dt。为了不使用莱布尼茨形式的导数，我们通常用坐标上的n个点来表示坐标对时间的n阶导数。

使用这个符号，笛卡尔坐标和柱坐标下的加速度变成

运动学方程

现在我们已经知道了位置，速度和加速度怎么表示了，我们可以继续研究运动学方程了。在恒定加速度的假设下，运动学方程涉及六个变量为：

1. 初始位置
2. 最终位置
3. 初速度
4. 终速度
5. 加速度
6. 时间

每个方程都有一些这样的变量，你可以知道其中的一些，然后解出剩下的。

四个简单的方程式

假设在笛卡尔坐标系中有一个恒定的加速度。在这种情况下，我们可以求从0到t的积分来得到加速度

其中s表示位置，a表示恒定加速度，t为最终时间，τ为积分中表示时间的哑变量，v_0为初速度，v_f为最终速度。这是第一个运动学方程。为了得到第二个运动学方程，我们可以对第一个运动学方程积分。

s是最终的位置，s_₀是初始的位置。为了得到第三个运动学方程，我们解出第一个加速度运动学方程。然后把结果代入第二个运动学方程。

注意(vf + v_₀)/2是平均速度，所以这个方程就是移动的距离等于平均速度乘以时间。为了得到第四个运动学方程，我们解出了第三个初速度的运动学方程。然后把结果代入第二个运动学方程。

点积

为了理解下一个积分的推导，我需要定义点积。你可以把点积看作一个向量指向另一个向量方向的量。如果向量指向同一个方向，点积就会得到每个向量长度的乘积。如果向量指向相反的方向，点积就会得到每个向量长度的负乘积。如果两个向量是正交的，点积就等于0。在其他情况下，点积给出的是这些值之间的一个数。点积的一个正式定义是

其中a和b是任意向量，|v|是向量的大小，α是两个向量的夹角。这种形式在计算点积时并不常用，因为我们通常不知道向量之间的夹角。此外，我们有一个更容易使用和计算的形式，利用点积的分配律：

这是一个更简单的公式。我们取任意两个向量，在笛卡尔坐标系中表示它们，并求它们的点积。

在最后一行，有基向量之间的点积。根据定义，这些基向量彼此正交，并且具有单位长度。

这就得出了最终结果

用点积分离出维度

在很多情况下，会出现一些向量方程，我们想要分离出各个维度。为了做到这一点，我们可以对方程两边取一个特定的向量（通常是笛卡尔基向量之一）的点积。例如，在标准的弹道问题中，我们知道加速度的x和y分量，速度，和初始位置，但不知道时间或最终位置的x分量。

如果我们能分离出向量方程的y部分，就能解出时间。因为点积可以使一些分量归零，我们可以试着用y基向量对方程两边做点积。

稍后，我们将处理无限维向量方程，而得到系数的唯一方法是取“点积”。

最重要的运动学方程

为了得到最后也是最重要的运动学方程，我们可以放弃加速度为常数的要求。从积分开始

我们可以做两种不同的u替换：adt = dv或vdt = ds（粗体表示向量，而非粗体表示标量或向量的长度）。做第一个u-替换：

因为我们已经“脱离”了对时间的依赖，因此必须把积分变成线积分，线积分测量的是一个矢量在整个路径上指向运动方向的总量。

• 一个粒子被限制在导线上的例子

做第二次u-替换

v和dv总是指向同一个方向，所以v和dv的点积得到v dv = v (1) dv = v dv。因为我们从同一个积分开始，这两个结果一定相等

如果在运动方向上有一个恒定的加速度，我们就可以计算积分，得到：

这个运动学方程有什么特别之处？

这个方程告诉我们，只有在运动方向上的加速度才能使物体加速或减速。此外，更强的表述是，只有在给定方向上的加速度，才能改变该方向上的速度。如果加速度总是垂直于运动方向，那么物体就会旋转而不增加速度，从而形成一个圆形路径。此外，一个以两倍速度运动的物体需要四倍的距离才能在相同的加速度下减速。同样，一个物体运动得越快，它为了增加同样的速度需要加速的距离就越大。最后，如果等式两边同时乘以物体的质量，代入力，功，动能的定义，我们就得到了功-能定理。

能量常被描述为“做功的能力”，但什么是功呢？功-能定理给了我们一个概念。正功使物体加速，负功使物体减速。物体的加速或减速是由净功决定的，即对物体所做的所有正功和负功的总和。

加深理解和记忆

我建议你们自己尝试求解这些问题，如果你不能求解这些问题，试着想出一个错误的答案，然后证明它是错误的。然后，想出一个不同的错误答案，并证明这个新答案是错误的。如果你做这个过程的时间足够长，你就会用尽错误的答案，你除了想出正确的答案之外别无选择。

下一步是什么？

在下一篇文章中，我们将介绍牛顿力学，并用它们来证明开普勒的行星运动定律。记住，没有捷径可走。