蝴蝶定理 蝴蝶定理

蝴蝶定理

这是一个非常著名的定理，有很多证明。我记得区域认证有几种方法。但是要表示一个三角形的面积，需要把三角形的三个字母都写出来，这就使得我们在阅读证明和阅读三角形的面积时，很难从图中找到三角形。而且可能涉及五六个甚至十几个三角形，而且面积也是用线段表示的，最后同样的一些线段也会被分割。这个过程读起来很累，可能会让人半途而废。还有一些射影几何方法或者求逆方法，使得证明过程非常简单，但是需要一些预备知识才能读懂，所以也很难读懂。

今天我要介绍一个非常简单的证明方法。

蝴蝶定理:如上图所示，一根弦AB与一个圆O相交的中点M构成两根弦CD和EF，连接CF和DE，分别在G点和H点与AB相交，所以M也是GH的中点。

我们用倒推法来证明。先做一些准备工作。如下图所示，交点m是AB的垂线，显然垂线与中心o相交，作为线段MD关于轴线MO的对称线段MD’，显然D’点也位于圆上。为了便于描述，我们在图中用数字标出了一些相关的角。相关的角标有颜色。比如∠4，∠5，∠6明显相等，所以都用红色标注，方便查找。

因为∠6=∠5=∠4，我们只需要证明∠ 4+∠ 7 = 180即可。

但是≈4和≈7是圆内接四边形CFD'D的对角，当然≈4+≈7 = 180。

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