微分和积分的区别 数学｜微积分、高等数学与数学分析的区别与联系

微积分，高等数学，数学分析，这三个词是大部分理工科专业的学生所熟悉的。毕竟他们被折磨的一塌糊涂。近日，浙江大学苏德矿教授(江湖人称“矿主”)在微博上播放微积分，成为网络名人；在采矿业的经典语录中，“以前有一棵树叫舒高，上面挂着许多人；旁边有个坟，叫微积分，里面埋了很多人。经典的特点是形象地刻画了高等数学和微积分的难度。

同一个学校的一些同级学生学习高等数学，另一些学生学习数学分析。之前微积分、高等数学、数学分析有什么联系和区别？今天的文章希望能为你解答一些疑惑。

微积分:两个运算+两个概念+一个定理

首先说微积分。一方面，作为一门课程，它不仅是高等数学的核心内容，也是数学分析的核心内容。另一方面，它是一种数学工具，尤其是高等数学的基本工具。

1.微积分知识体系

微积分的知识结构很清晰，主要内容是澄清两件事:一是介绍两种运算，导数和不定积分，说明它们是逆运算；其次，介绍了基本的微分学和积分学，并给出了它们之间的联系——牛顿-莱布尼茨公式。导数和不定积分属于微分学，尤其是不定积分。虽然有“积分”二字，但是作为导数的逆运算，属于微分学，不是积分学。真正属于积分学的是黎曼定积分(也就是我们常说的定积分)。

2.不定积分和定积分的区别

不定积分和定积分虽然字面上只有一个字的区别，但数学定义上有本质的区别。不定积分是求函数的原函数，它的几何意义是原函数的镜像，即曲线；定积分是黎曼和的极限，它的几何意义是面积，也就是一个数值。它们之间没有关系，既有没有原函数的可积函数，也有有原函数但不可积的函数。

3.微积分之间的桥梁

无论如何，牛顿莱布尼茨公式就像一座桥梁，连接不定积分(微分学)和定积分(积分学)，这就是为什么牛顿莱布尼茨公式被称为微积分的基本定理。相信虽然很多人都不想再看到下面的公式，但是真的很经典~

所以可以看出微积分的核心内容是学习两个新的运算，理解两个新概念，熟悉一个基本定理。

高等数学:解析几何+微积分之间的常微分方程+空

微积分仍然是高等数学的核心内容。我国高等数学主要面向理工科非数学专业开设。它的主要目的是解决工程中遇到的一些问题，如计算体积、周长和速度。因此，高等数学除了介绍数学知识外，还要求学生理解各种数学概念的实际意义。比如导数可以理解为求瞬时速度，增长规律，积分可以理解为求面积，功等等。对于实际问题，数据往往复杂，公式往往冗长；对于不易积分导出的实际问题，如何才能高精度地找到近似解？然后需要引入级数的概念，比如泰勒展开然后逐项积分难以找到原函数的函数，然后用牛顿差分法计算方程的近似解。

在这些问题中，最令人苦恼的问题是复杂的计算，所以高等数学对学生的计算能力要求很高。高等数学的主要内容有三:理解数学概念背后的实际意义；精通使用数学工具求导数和积分；会用一些手段来准确估计实际问题。这些可以算是微积分的应用，但一切还是停留在对运算的理解上。

遗憾的是，国内一些大学的高等数学老师并不能把数学概念背后的物理或几何意义讲清楚，而是让学生多记定理和公式，遇到问题就能算出来。这导致学生在学习高等数学后，无法建立完整的知识框架，无法理解书籍内容与章节之间的密切关系。

数学分析:学习研究复杂函数的方法

数学分析作为数学系本科生的一门基础课，是整个分析的基础，与微积分、高等数学有着本质的区别。

什么是分析？它是一门分析变量和许多变量之间关系的学科。在数学中，函数主要用来描述变量之间的关系，所以数学分析的主体应该是函数。中学时，我们学过六种简单的初等函数(常称为对幂、正负三角形)，也学过一些初等函数的学习方法，但这些函数极其特殊，比如都是逐段连续的，可以无穷可导。

研究数学分析的目的是在更广的范围内拓展函数系，研究和学习那些解析表达式不规则、不连续或不可导的函数，这些函数比连续函数多无穷倍。如何描述这样的功能？数学分析中引入了两种方法:参数变量积分法和函数项级数法。特别是所有初等函数都可以表示为函数项级数，但函数项级数的范围比初等函数大得多。我们可以用它来构造各种奇怪的函数，比如不是处处可微的连续函数，有界区间上的无限像长函数等等。这些函数的表示比初等函数的表示复杂得多，因此研究它们的变化性质变得困难得多。所以需要学习一些系统的定理和方法。将这些知识结合在一起就构成了数学分析的主题。

所以明显不同于微积分和高等数学。学习数学分析的目的不是学习导数或积分，而是拓展函数的范围，学习研究复变函数的方法。

本文中的参考文献

知乎ID:少工作室

微博:浙大苏德矿

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