最小二乘法公式 GD&T 几何尺寸和公差 | 最小二乘法的数学公式

很多地方都用最小二乘法。例如，在形状公差中，如果设计者采用以下注释:

上面的公式其实是方程组(方程组中只有一个方程)，这里的未知数是k和b，如果根据方程组(2)可以得到k和b，那么就可以得到线性方程。(GZH:智能汽车供应链)

问题是，如何解两个未知数和一个方程组？显然，在方程组(2)中，k和b的解很多，而且不是唯一的。假设平面上有无数条直线通过一个点，那么k和b的解就有很多。

根据方程组(3)，我们可以直接求解k和b，再一次，k和b未知。只要P1和P2不在同一点，方程组(3)就必须有唯一解K和b，从几何学上讲，必须有一条唯一的直线穿过P1和P2。

我们来看看图片:

显然，平面方程有三个未知参数a，b，c，三个坐标三个点，所以软件可以列出三个方程的方程，即正定方程。然后求解三个参数a，b，c，得到平面方程，然后就可以为所欲为了。

“2”用于建立第二个基准，要求产品表面有两点。也是正定方程组，因为除了通过两点(有两个方程)之外，还需要加上一个与第一个参考(第三个方程)垂直的约束，也可以列出一个正定方程组。

“1”也是如此，经过一个点，加上两个与第一个基准垂直的约束，第二个基准，也是正定方程组。

站在设计工程师的角度，我个人对3-2-1原则的合理性表示怀疑，3-2-1原则可以使软件的计算变得简单，但与实际装配不符。事实上，我们希望测量工程师能够在第一、第二和第三个基准上收集尽可能多的点，以便接近实际装配。

因此，我们不得不面对一个难题，超定方程。

1.3超定方程

我们以直线为例。如果测量工程师在一个平面上取三个点P1(x1，y1)，P2 (X2，Y2)和P1 (X3，Y3)，他希望我们解这三个点的直线方程。按照我们之前的套路，我们可以把这三点带入线性方程(1)，得到如下方程:

这个时候凭直觉有没有不好的预感？未知数k和b可能无解，因为很可能方程组(4)中两个方程的关系是矛盾的。你可以想象，如果P1、P2、P3和P3这三个点不在同一条直线上，我们怎么找到这三个点的直线呢？

上图括号里表示的这个东西就是高的那个上面的矩阵A，包含了表1的所有信息。只是一种形式吗？所以它就像一个表，可以有很多行和列。

再说一遍，因为每个品牌的自行车外观和型号都不一样，所以自行车的单价也不一样。以下是各品牌自行车单价清单(人民币)。

因此，矩阵实际上是一个表格，其中一堆数字以特定的顺序放置在特定的位置。

好了，我们对矩阵有了一个初步的了解，再来大致了解一下矩阵乘法。

继续我们的故事。到2018年底，所有品牌的自行车共享都没有给自行车制造商任何钱。有传言说自行车共享做不到。这时候自行车厂商慌了，就赶紧算算今年各分厂的亏损。

这个算法小学生都可以做。我们把表格放在一起计算杭州分公司和上海分公司的损失(数量x单价=金额)。

嗯，数学上来说，我们也可以用矩阵乘法来表示上面的结果，很简单:

A∙B=C

即:

例如，假设有:

所谓的换位容易吗？

还是怕出错？好吧，没关系。Excel中有一个转置()函数可以帮你转置矩阵。

2.3矩阵的逆

我们对矩阵的逆不太了解，暂时就当它是矩阵的倒数吧(其实矩阵没有这个倒数的概念)。

任何非零数乘以它的倒数，结果是1，实际上是一个单位。所以有时候我们用乘法和倒数代替除法。

矩阵中还有一个类似1的单位矩阵，例如:

上面的矩阵e是二阶单位矩阵。所谓逆矩阵的特点是任何矩阵乘以它的逆矩阵等于单位矩阵。例如:

根据前面提到的矩阵乘法规则，我们会发现:

所以b是a的逆矩阵，a也是b的逆矩阵，记为:

这里需要强调的是，只有方阵(square matrix)，也就是行数等于列数的矩阵才有“逆矩阵”这一项，即使是方阵也不一定有逆矩阵(它的行列式不等于0)，类似于没有任何数有倒数的原理(比如0没有倒数)。

问题是，如果我已经知道一个矩阵，怎么才能找到它的逆矩阵？其实手工找起来比较麻烦，应该引入伴随矩阵之类的概念而不是深究。还是懒一点，直接用Excel吧。

Excel有个函数叫Minverse()，可以直接求逆矩阵。逆矩阵不存在，他会提示错误。

3.最小二乘法的公式和实例

好了，我们做了很多准备，讲了超定方程，讲了矩阵和矩阵乘法、转置矩阵、逆矩阵等概念。，这些都是期待已久的，现在我们终于可以拉出最小二乘法的公式了。

超定方程(矩阵方程)的定义

如果满意

可逆(这个条件你不用担心，只要三个坐标采集的点不再在同一位置，就一定是可逆的)，那么超定方程(7)有唯一的最小二乘解，解的公式为:

这个公式(8)是我们今天的主角。

需要注意的是，在公式(7)中，a、x、b都是矩阵(所以加粗)，a、b是已知的系数或值，x是未知矩阵(如果这里开始圈的时候不用担心，我们后面会举例来理解这个公式)。

公式(8)是最小二乘法的解，看起来很复杂，但是只要知道超定方程(7)中的系数矩阵A和B，就可以很容易地用公式(8)求解最小二乘解X。

这个公式是怎么来的？为什么成立？这个解释起来太痛苦了，要有全面的线性代数知识，从基到张量空再到坐标。为了防止最后几个读者跑了，我就不再说了。

反正有兴趣的朋友可以参考一下这篇文章后面的文献。但是，我可以把手放在手机上，发誓这个公式不是我发明的，我确定是正确的。计算出的x必须满足最小平方和。

需要补充的是，公式(7)是矩阵方程，我们讲的是线性超定方程，要学会自己把方程转化成矩阵方程。例如，前面的超定方程是:

稍作改动:

矩阵方程(10)可以写成:

看，上面一个是把超定方程(9)转化成标准矩阵方程。它的优点是我们可以直接设置公式。因此，我们可以重用公式

把k和b弄出来。

我会写出它的长公式。

使用Excel的函数公式是:

x=MMULT(MMULT(MINVERSE(MMULT(转置(A)，A))，转置(A))，b)

这个配方很有耐心，很彻底。和数学公式一模一样。如果还是不懂，复制粘贴一下。

好了，这里，我们来举个实际的例子。我在平面上取了五个点，坐标如下图所示。请将这五点拟合成一条最小二乘直线，并写出直线方程:

所以我们可以得到线性方程的参数

k=0.731，b=0.551 .

也就是说，最小二乘直线的方程是:

y=0.731x+0.551

Excel中的表格计算和公式输入如图8所示:

其中，也就是说，在所有可能的直线中，只有直线y=0.731x+0.551满足e为最小值。也就是说，直线y=0.731x+0.551是妥协后的最优解，虽然有点“会”(也不得不)。

好了，最小二乘直线拟合好了，为什么还要用呢？

想做什么就做什么。可以用它作为基准来评价其他被测元素，也可以作为理想元素来夹紧被测元素(比如直线度)，随你喜欢。

为了加深印象，我们再举一个例子。我们用最小二乘法来计算一个表面的轮廓。

已知图纸和实际零件如图10所示:

为了以后直接应用公式，需要将上面参考平面的方程直接转换成标准平面方程:Ax+By+Cz+D=0，即:

显然，用标准平面方程，我们可以得到:A=0.002，B=-0.005，C=-1，D=0.026。计算距离时，应立即使用标准平面方程的这四个参数。

然后，通过找到从被测元素上的每个点到基准面的距离，可以计算轮廓度(根据ISO标准，轮廓度是与理论尺寸24的最大差异的距离的两倍)。这里我们需要用到点到曲面的距离公式(A、B、C、D四个参数，这里正好可以用到):

求最小二乘解；

本期介绍的最小二乘解公式适用于线性问题(不仅用于测量GD & T，其他地方也可以使用)，不能直接用于非线性问题。如果要拟合最小二乘圆或圆柱体，没有办法直接用这个公式。对于非线性公式，如果有机会，我们以后再和你讨论。

最后声明，本文的目的纯粹是为了GD & amp；T爱好者准备的技术知识，在相关数学概念的解释上涉及到很多不精确的地方。更详细严谨的概念解读，最好参考专业文献，比如本文最后的参考文献。

这个问题的摘要

本期介绍一个用矩阵计算最小二乘法的公式(注意这不是最小二乘解的唯一方法)，非常简洁，但是要求读者有一定的线性代数基础。为了照顾把线性代数还给老师的朋友，我们前期做了准备。第一节介绍了三类方程，说明在拟合时，我们最常面对的是超定方程。第二节我讲了一些关于矩阵的知识，为了帮助朋友理解公式的含义。第三节正式介绍了最小二乘法的公式及相关实例，并以等高线计算为例说明了该公式。

[后记] (GZH:智能汽车供应链)

写这篇文章的过程很痛苦。一方面，在颤音、Aauto rapper等超短超酷视频时代，微信官方账号的长文注定冷门，也是针对专门的小众文章；另一方面，一旦遇到数学问题，技术普及文章马上变得心惊胆战，因为数学严谨，水很深，不小心发现自己在肤浅地胡说八道。无论如何，我终于完成了，不是为了别的，而是为了真正好奇的同龄人，哪怕很少。

感谢OGP的易阳伟先生，用OGP软件帮我验证了最小二乘法计算结果的正确性，并通过视频热情的教我如何使用这个软件，让我可以放心的发这篇文章。(GZH:智能汽车供应链)

如果您在这篇文章中有任何问题或发现任何错误，请给我们留言。我也给你留个思考问题。在本文的最后一种情况下，如果需要被测平面相对于基准面A的平行度，可以用今天提到的公式来计算吗？你可以给我们留言。(GZH:智能汽车供应链)

另外，案例已经做成Excel表格，请加微信索取。

引用

精密测量的数学方法 熊有伦 中国计量出版社 线性代数的几何意义 任光千 谢聪 胡翠芳 西安电子科技大学出版社 线性代数与空间解析几何 科学出版社