垂直与平行 数学丨难以突破的“平行与垂直”，可以这样上出新意（附完整教学实录）

图1

学生往往分为很多类，比如相交成X形的，相交成T形的，两条直线的端点正好相交成一个角度的，两条直线“不相交”的等等。

后续就是让老师很头疼的:我们希望学生意识到这些线是直线——直线可以无限延伸，但延伸后就不是这样了——但是老师不想直接“讲透”这个重点，因为一旦“讲透”，就觉得这个环节的思维不强，或者说浪费了这些丰富的资源。在课堂上，老师想说话却故意不说话要花很多时间，学生越来越迷茫，后续环节无法启动。

经验不到位

“平行”概念的确立，教师一般分为两步进行教学:

一是借助学生分类得到的“不相交”模式，直接告诉学生“不这样相交的两条线称为平行线”。在这里，老师们往往只是简单的擦肩而过，因为大家都认为没有什么好的载体或形式让学生深刻体会到“脱节”的特点。

然后通过后续的练习，突破“在一个平面”的点，得到一个完美的概念。在这里，老师总觉得学生的经验很难付诸实践。常见的做法是拿出一个长方体框架，引导学生观察C与D的不相交与A与C的不相交的区别，或者引导学生想象A与C之间可以构造一个平面，从而发现“不在同一平面相交的两条直线称为平行线”。

图2

但是四年级学生还没学过“长方体”，这些棱之间的关系很模糊。而且他们要用这么小的模型去观察和想象，体验效果往往不理想。

实践内涵较少

在教学过程中，教师会安排相应的练习，使学生及时巩固新概念。比如判断两条线是否平行，判断两条线是否垂直，在图形或生活情境中寻找平行或垂直的现象等等。

虽然习题很多，但是太简单机械，没什么新意，缺乏内涵。如图3，要求学生判断是否“垂直”。学生基本上一眼就能做出判断。如果个别图纸不能一眼确认，就用三角形确认。多做这样的练习，只会让学生获得熟练的技能，而缺乏其他的收获。

图3

缺乏知识深度

老师们都知道这门课的两个知识点是“平行”和“垂直”，反映了空中两条直线的不同位置关系，往往以清晰的板书呈现出各自的特点。

图12

老师:看下面一组。为什么说他们不会相交？

健康:因为两条直线之间的距离永远是两个正方形，所以无论延伸多长都不会相交。

2.建构平行的概念。

注意:我们这里不做这个事情:“看似两面，其实可以形成新的平面”。虽然概念的逻辑上似乎存在一些问题，但符合教材安排的意图和四年级学生的认知能力。

在这一段，对“不相交”的深刻感悟和对“同一平面”的突破，都是借用直观有效的多媒体教学手段。在“不相交”的教学过程中，课件呈现出一个网格图，所以巧妙地运用了“几何直观”的手段——利用几何形式的支持，直观地呈现出两条直线之间细微但量化的区别。课件演示的直线延伸更清晰地放大了这种差异，使学生充分感知并独立揭示平行特征——距离处处相等，永不相交。这种教学方法直观有效，简单却深刻。

同样，“同平面”是一个老师很难理解，学生也很难理解的概念。在这样的情况下，是多媒体发挥作用的时候了。从案例中可以看出，教师利用课件在立方体表面画两条直线，引导学生直观地感知同一平面、不同平面、不同平面不相交等抽象的几何概念，促使学生有意识地发现问题，从而形成完善的概念。“课件要用在最需要的地方”，就是一个典型的例子。

三，纵向教学

1.纵向概念的教学。

2.尽量练习。

老师:我们来做个练习，判断两条直线是否互相垂直。

图14

按照这个定义，对比上面的练习，我们可以看到，老师在不断的“改变事物的非本质特征”:从常见的竖式开始，往前一点点直线，往T型走，再往L型走，最后往X型走。在这种变化中，学生要想做出判断，就需要不断增强对“两条直线以直角相交”这一本质特征的理解，而这种增强过程就是不断理清概念、真正建立概念的过程。

更重要的是，在这个过程中，学生的认知冲突是不断的，他们的主动思维也是不断的。特别是对于直线之间的关系，直线长度和位置的变化导致学生观察、想象、辨别等有价值的思维行为。，它跳出了普通习题中静态两条直线所包含的值——静态两条直线只需要直角检测，只获得知识和技能。当然，我们都可以意识到，这种做法实际上是在有效培养学生的“空概念——几何图形的动态变化，最有利于学生“空思维的发展。

第四，沟通知识之间的联系

1.把普通路口变成垂直路口

老师:老师在这里画了两条相交线，现在相交成两个锐角和两个钝角。想让它们互相垂直，有办法吗？

图17

健康:可以把斜线改成竖线。

老师:我理解，就是旋转这条线。

图18

老师:好像垂直度是一种很特殊的交集，就是一瞬间！

2.对重合现象的理解

老师:如果老师让直线继续顺时针旋转，想想会发生什么？

健康:会有两个锐角和两个钝角。

老师:你继续转怎么办？

健康:那两条直线会重合。

老师:巧合。你听说过这个名字吗？想象一下会不会重叠？如果重叠，这个度数会是多少度？

图19

老师:两条直线重叠后，角度消失，两条直线无法区分，所以数学上一般不研究这种情况。

3.从巧合到平行。

老师:普通路口旋转可以变成竖排。那么，能不能变成平行呢？

图20

老师:你看到了什么？

健康:两条直线分开。

老师:他们是怎么分开的？

健康:直线下移。

老师:你是随便动的吗？

健康:向下平移两格。

老师:对，这是我们之前学的翻译。巧合可以通过翻译变成平行。除了向下平移两帧，怎么移动？

老师:对，今天的学习是垂直平行的，可以通过之前学的旋转和平移来转化。看来知识是息息相关的。

该链接通过多媒体的方式进行可视化演示。之所以用演示法，原因很明显——平行和垂直，包括重合，都是两条直线在动态变化过程中瞬间“固定”的状态。多媒体演示是揭示这种状态最直观、最清晰的方式；同时，平行度、垂直度、重合度之间有着微妙的关系，可以用旋转、平移等图形运动的知识来解释，这种解释也需要多媒体的视觉支持。

与视觉演示的方法相匹配的是学生的观察。通过观察，学生可以清楚地看到基于“运动变化”的直线之间不同的位置关系，并深刻地认识到相交直线要研究它们的角度，平行直线要讨论它们之间的距离。这样就整合了数学知识，暴露了课堂上的数学内涵，有效地培养了学生的数学思维。

动词 （verb的缩写）课堂总结

注:空之间两条直线的位置关系是怎样的？< <数学词典> >描述:空不重合的两条线可能相交、平行或在平面外。两条相交线或两条平行线是共面线。平行线可以讨论它们之间的距离，交线可以讨论它们的交角。可见重合是空之间两条直线的位置关系，但没有研究意义。所以对于“巧合”的情况，我们不展开，也不写在黑板上。

摘自《明星教师》“2017小学数学年度创新教学设计”

作者顾智能

图片，花瓣网

邹主编

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