平面椭圆,神奇的人物。

小时候觉得椭圆是个普通的数字。直到上了高中,接触到了圆锥曲线,经历了一些摧残,感觉自己好像认出了椭圆的真面目。现在遇到了椭圆积分,才发现自己真的很幼稚...所以,我现在对省略号充满了敬畏,不知道什么时候会遇到更多与它们相关的高级知识。让我们从椭圆的圆周开始,慢慢揭开椭圆积分的奥秘......

问题的引入:椭圆的周长

设连续可微平面曲线的参数方程为:

让我们在这条曲线上取一个无穷小,写成。有勾股定理可用:

以及:

引入的表达式有:

双方可以同时集成:

一切都进行得非常顺利,所以让我们再来看看椭圆:

椭圆的标准参数方程肯定大家都很熟悉:

。参数方程的导数为:

这叫椭圆偏心。

类型也可以做变量替换:

然后:

然后取出第二部分,去掉系数和积分的上下限,得到另一个不定积分:

这三种椭圆积分称为完全椭圆积分,否则称为不完全椭圆积分,即:

完全勒让德椭圆积分;

3.椭圆周长公式

椭圆不是没有周长,它只是没有确切的值。它的周长公式是无穷级数的形式:

Fehler。误差与偏心率和半短轴与半长轴之比的关系。图片来源:维基百科。

Fehler。误差与偏心率和半短轴与半长轴之比的关系。图片来源:维基百科。

Ramanujan 近似公式:(精度很高)

费勒,伯瑞希。误差与偏心率的关系。图片来源:维基百科。

注:原文发表在知乎的《数学与自然科学》专栏,原文标题为《无周长的椭圆》?!作者授权在该微信官方账号上发布。

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