芝诺的乌龟 芝诺的乌龟

知识就是力量，说了这么多历史，换个口味聊聊其他的。古希腊数学家、哲学家芝诺（公元前490年~公元前430年）提出的一系列关于运动的不可分性的哲学悖论，其中比较著名的就是“阿基里斯追乌龟悖论”。这是记录在亚里士多德《物理学》中的一道数学题。

悖论一词的英文 paradox 出现于 16 世纪， 源自拉丁文的 paradoxum， 后者又源自希腊文的παράδοξος (parádoxos)， 意为有悖于正统、 出乎定见之外等。 悖论长期以来就很受哲学家青睐，由于要 “有悖于正统” 或 “出乎定见之外”， 故免不了要包含观点之辨——包括诡辩， 这跟单纯阐述学说是有差别的， 这种差别使芝诺被很多人视为是辩证法 (Dialectics) 的鼻祖。 

据公元 4 世纪的希腊哲学家普罗克洛 (Proclus) 记述， 芝诺的著作包含了 40 个悖论。 可惜那著作早已不存， 后世依据的只是柏拉图、 亚里士多德 (Aristotle) 等人的转述。在亚里士多德《物理学》中记载了芝诺4个运动悖论，其中我们今天耳熟能详的是：阿基里斯与乌龟悖论 (Paradox of Achilles and the Tortoise)。 

该悖论中的阿基里斯 (Achilles) 是希腊神话中的勇士，体力过人、长于奔跑，乌龟则是被广泛视为移动缓慢的动物。阿基里斯与乌龟悖论宣称如果阿基里斯与乌龟赛跑，只要让乌龟先爬一段路， 阿基里斯就不可能追上。理由是：每当阿基里斯追到乌龟先前所在的位置时，乌龟总是又往前爬了一段…… 这个过程无法穷尽，故而阿基里斯不可能追上乌龟。

​当然在实际生活里这是不可能发生的。在历史上，亚里士多德在《物理学》 (Physics) 一书中就给出了一个很漂亮的反驳，要点是指出芝诺只对空间进行了无穷分割， 却忘记了同样的手法也可用于时间。 只要对时间和空间作同样的无穷分割， 走完芝诺分割出的无穷多个中点 (或两两之间的无穷多段路径) 就只需有限的时间， 因为那实际上是从用有限时间中分割出的无穷多个时间点 (或两两之间的无穷多段时间) 来完成的。

芝诺可谓是最早对无穷这一概念进行深入思考的古希腊先贤，芝诺的悖论并非普通的诡辩，而是一段漫长探索的起点。为无穷这一概念建立可靠基础后来成了数学基础研究的重要组成部分。芝诺悖论引出的这种思想，正是微积分的思想基础。微积分其实就是把函数分割为无穷多份，然后再累加。